Nullstellen berechnen. Bsp. f(x)= (x^3-1) * (x^3 + 1,7x^2 + 0,1x - 0,6)

Question

 .. verstehe es nicht

1. f(x)= (x^3-1) * (x^3 + 1,7x^2 + 0,1x - 0,6)

2. f(x)= x^5 + 3x^4 + 8/3x^3 - x - 1/3

Kann mir jemand helfen, wie man hier die Nullstellen ermittelt?

Answer 1

1. f(x)= (x³-1) * (x³ + 1,7x² + 0,1x - 0,6)

Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens
einer der Faktoren 0 ist
x^3 - 1 = 0

x = 1

Für den rechten Term wüßte ich nur eine Lösung über z.B. das Newton-Verfahren.
Ebenso für Aufgabe 2.

Comments

Es gibt auch komplexe Nullstellen für die Gleichung \( x^3 - 1 = 0 \)

Bei dem zweiten Term kann man eine Nullstelle raten, nämlich \( x = -1 \)

Answer 2

Hi,

bei ersterem kannst Du die Nullstellen faktorweise bestimmen. So erkennst Du aus dem ersten Faktor sofort, dass die reelle Nullstelle x_(1) = 1 sein muss.

Für den zweiten Faktor bietet sich die Polynomdivision an. Finde eine Nullstelle durch raten: x_(2) = -1 und mach dann mit (x+1) eine Polynomdivision. Danach kannst Du bspw die pq-Formel verwenden und findest x_(3) = -1,2 und x_(4) = 0,5.

Für die zweite Funktion suche ebenfalls nach Nullstellen. Du wirst x_(1) = -1 finden. Mach wieder eine Polynomdivision und rate erneut. Wiederum wirst Du x_(2) = -1 finden. Nach einer weiteren Polynomdivision hast Du nun eine Funktion dritten Grades, bei der Du ein weiteres Mal eine Nullstelle rätst. x_(3) = -1. Nach einer weiteren Polynomdivision hast Du eine Funktion zweiten Grades und kannst pq-Formel verwenden und die letzten beiden Nullstellen finden: x_(4,5) = ±1/√3.

Alles klar?

Grüße

Comments

Und was ist mit den komplexen Nullstellen von \( x^3 - 1= 0 \)?

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Nur, wenn man an komplexen Nullstellen interessiert ist. Kommt auf das Niveau des Fragestellers an.

Answer 3

Hi,
Aufgabe 1)
die Frage ist ob Du nur reelle oder auch komplexe Nullstellen suchst. Die Gleichung \( x^3 - 1  = 0 \) hat im komplexen drei Nullstellen und im reellen nur \( x = 1 \) als Nullstelle. Der zweite Term hat einmal die Nullstelle \( x = -1 \), ist geraten, und danach hast Du nach Polynomdivision eine quadratische Gleichung zu lösen.

Answer 4

1)

f(x)= (x³-1) • (x³ + 1,7x² + 0,1x - 0,6) = 0

Satz vom Nullprodukt ergibt:

x³-1 = 0   oder   x³ + 1,7x² + 0,1x - 0,6 = 0

x³ = 1   oder   (x + 1) • (x + 1/2) • (x + 1,2) = 0

x = 1 oder x = -1 oder x = -1/2  oder x = -1,2   (reelle Nullstellen!)

x₁ = -1  musst du durch Probieren ( ±1 , ±2 ... in die Gleichung einsetzen) finden.

Dann kannst du  die Polynomdivision

 (x³ + 1,7x² + 0,1x - 0,6) : (x+1) = x² + 0,7·x - 0,6    durchführen.

Mit der pq-Formel erhältst du

x² + 0,7·x - 0,6 = 0   →  x₂ = - 1/2  und x₃ = - 1,2

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 Ein ausführliches Beispiel für die Polynomdivision findest du ggf. hier:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm 

Ersatzweise kannst du auch das Hornerschema anwenden, das du hier findest:

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2)

f(x) = x⁵ + 3x⁴ + 8/3·x³ - x - 1/3

auch hier findest du durch Probieren die Nullstelle x=-1. Division des Funktionsterms durch (x+1) ergibt ein Polynom vom Grad 4. Auch dieses hat wieder die Nullstelle x=-1. Nochmalige Polynomdivision ergibt ein Polnom 3. Grades, das wieder die Nullstelle x=-1 hat (dreifache Nullstelle des Funktionsterms).

Diesmal ergibt die Polynomdivision einen quadratischen Term, dessen Nullstellen man mit der pq-Formel ausrechnen könnte, wenn es nicht "reinquadratisch" wäre.

f(x) = x⁵ + 3x⁴ + 8/3·x³ - x - 1/3 =  (x + 1)³ · (x² - 1/3)   

Du erhältst also insgesamt die Nullstellen  x= -√3/3 ,  x = √3/3  und  x = -1 (dreifach)

Gruß Wolfgang

Comments

Kommentare gelöscht, da durch Löschen anderer Kommentare kein Zusammenhang mehr besteht.

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leider wurden die Beiträge zu " Fehlern bei den Antwortgebern " gelöscht.
Ich finde die Beiträge kann man ruhig stehen lassen und ausdiskutieren.

Grundsätzlich
Wenn ich alle ottografischen ( welch Wortwitz, ich habe das Wort bewußt falsch
geschrieben ) Fehler insbesondere bei den Fragestellern korrigieren würde
käme ich wahrscheinlich nicht mehr zur mathematischen Beantwortung
der Fragen.
Deshalb korrigiere ich diese nicht mehr.

Wichtiger ist die Korrektur von Fehlern oder vermeintlichen Fehlern in der Sache.
Darauf kann mich jeder aufmerksam machen. Ich will ja schließlich auch das
der Fragesteller eine richtige Antwort erthält.

Was ich nicht haben kann sind Fehlerhinweise in Form eines genialen Einzeilers
ohne jegliche Begründung.
Diese verursachen durch endloses Nachfragen zuviel Arbeit. Dazu habe ich keine Lust.
Wenn Fehlerhinweise dann bitte mit Begründung oder noch besser eine eigene
Antwort einstellen.
Sollte sich ein Fehlerhinweis als falsch herausstellen dann bitte die
Größe haben und dies auch zugeben. Manch einer hört dann ja einfach auf.

Noch einmal
Es ist noch niemandem gelungen hier nur richtige Antworten einzustellen.
Das hat noch keiner geschafft und wird auch keiner schaffen.

mfg Georg

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Hallo Georg,

wenn sich zwei Kommentatoren darüber einig sind, dass - ohne jeden Bezug zur Aufgabe! - ihre Diskussion (in diesem Fall über einen Rechtschreibfehler)  zu sehr "ins Persönliche" abgeglitten ist, sollte es ihnen wohl unbenommen sein, die Kommentare zu löschen. Allerdings sollten dann auch die "Kommentarrümpfe" beider Seiten gelöscht werden.

mfG  Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

mir ging es bei meinem Kommentar noch nicht einmal darum etwas konkretes
zu diesem Fall zu sagen sondern allgemein etwas über Fehler und
deren Handhabung . ich dachte auch schon daran mit meinem Kommentar
völlig unabhängig hiervon einen eigenen Thread zu eröffnen.

mfg Georg