Umkehraufgabe Funktion 4. Grades

Question

Ich habe bei folgender Umkehraufgabe Probleme das Gleichungsystem zu erstellen. Kann mir von euch jemand dabei helfen?  

Eine Polynomfunktion 4. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente und einen weiteren Wendepunkt in W2(—2/2).
Zeige, dass die Funktionsgleichung

f(x) = -1/8 x^4 - 1/2 x^3 lautet

Answer 1

Eine Polynomfunktion 4. Grades

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

hat im Ursprung

f(0) = 0

einen Wendepunkt

f''(0) = 0

mit der x-Achse als Wendetangente

f'(0) = 0

und einen weiteren Wendepunkt in W2(-2/2).

f(-2) = 2
f''(-2) = 0

Das lineare Gleichungssystem lautet demnach

e = 0
2c = 0
d = 0
16a - 8b [+ 4c - 2d + e] = 2 [Die geklammerten Werte sind 0 und braucht man auch nicht aufschreiben]
48a - 12b [+ 2c] = 0

Damit ist die Lösung  a = -0.125 und b = -0.5

Die Funktion lautet demnach f(x) = -0.125·x^4 - 0.5·x^3

Answer 2

Hi,

ich würde das ganze "Rückwärts" angehen.

Untersuche ob im Ursprung und im Punkt W₂ genau diese Eigenschaften zutreffen.

 

f(x)=-1/8*x^4-1/2*x^3

f'(x)=-1/2*x^3-3/2*x^2

f''(x)=-3/2*x^2-3*x

f'''(x)=-3x-3

 

Wendepunkt bei W₂(-2|2):

f''(-2)=0=-3/2*(-2)^2-3*(-2)=-6+6=0

f'''(3)≠0=-3*(-2)-3=3

 

Passt also.

Untersuchen wir den Ursprung:

f'(0)=0 -> Steigung ist 0 und damit hat auch die Tangente die Steigung 0 -> das ist die x-Achse, da wir ja durch den Ursprung gehen

f''(0)=0 und f''(0)=-3≠0 -> Wir haben hier auch nen Wendepunkt.

 

Bedinungen sind erfüllt. f(x) ist also tatsächlich die gesuchte Funktion.

Grüße