4 / x ² = 21/4 - 5/4 x | * HN ( 1a ) g ( x ) := 5 x ³ - 21 x ² + 16 = 0 ( 1b )
Wie löst man kubistische Gleichungen? Sudoku ist ja auch ein strategisches Spiel; genau so werde ich euch Strategien vorstellen, die auf aller neuesten Erkenntnissen fußen. Strategien, die der Art neu sind, dass eure Lehrer noch nie davon gehört haben. Überlegungen, die teilweise auf meine ganz persönlichen Entdeckungen zurück gehen.
In der Algebravorlesung lernt man ja noch zur Not, dass sich für ein kubisches Polynom folgende Alternative stellt: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es spaltet eben einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab. Schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Wikis Behauptung allerdings, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine dreiste Fälschung dar.
Gauß ist doch Kult; wie erklärst du dir dann, dass dein Lehrer noch nie vom SRN gehört hat?
Gerne auch zitiere ich immer, dass aus dem SRN ein trivialer Beweis für die Irrationalität von Wurzel ( 2 ) folgt - ein weiterer Vorwurf zu Gunsten meiner Fälschungstese.
Bei ===> DGL hat sich ja längst die Vorgehensweise heraus gebildet, in das Gleichungs(system) mit einem Ansatz hinein zu gehen - genau das Selbe werden wir mit Polynom ( 1b ) auch machen.
Im Gegentum zu anderen matematischen Sachbeiträgen wirkt das Wikireferat über den SRN ausgesprochen pennälerhaft. Hier denk doch mal nach; die SRN Aussage hat doch überhaupt nur Sinn für ===> primitive Polynome. Dass der Verfasser dies nicht begreift, erkennst du schon daran, dass er Polynome aus |Q [ x ] zum Wettbewerb zu lässt bzw. mit dem " Hauptnenner " multipliziert; einem Fachmatematiker wäre dieser Lapsus nie unterlaufen.
Ein Teorem, das ehrwürdige 200 Jahre auf dem Buckel hat, ist längst nach allen Seiten Wasser dicht abgeklopft; was dir vielleicht neu sein dürfte. Die Matematik argumentiert ausgesprochen " katolisch "
Kein Forscher darf seine eigenen Entdeckungen vortragen; es wird ein Referent bestimmt. Erst wenn ein " Kardinalskollegium " darüber abgestimmt hat, welcher Beweis in welcher Form veröffentlicht werden darf, gilt das Teorem als offiziell angenommen. Der Wikiautor des SRN ist schlicht und ergreifend ein " Naseweis " , der wie so Viele in das Internet vorprescht, um die Instanz der Kardinäle zu " überholen " - so viel zu Gauß ...
Unmittelbar in der Woche, nachdem ich vom SRN erfahren hatte, gelangen mir zu dem Tema drei Entdeckungen - im Zusammenhang mit ( 1b ) benötigen wir alle drei. Und zwar gehe ich in ( 1b ) hinein mit dem Ansatz, dass es nicht nur einen RLF ABSPALTET , sondern vollständig zerfällt. Was bringt uns das? Dass wir nur Ganze und Fünftel als Wurzeln erwarten, wissen wir schon vom SRN . Aber ich sage dir auch, wie viele von jeder Sorte.
Gehen wir mal aus von einem Polynom n-ten Grades in Normalform
f ( x ) := x ^ n + a ( n - 1 ) x ^ ( n - 1 ) + . . . + a3 x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 2a )
Die primitive Darstellung von ( 2a ) notiere ich
f ( x ) = b ( n ) x ^ n + b ( n - 1 ) x ^ ( n - 1 ) + . . . + b3 x ³ + b2 x ² + b1 x + b0 ( 2b )
Zur besseren Unterscheidung bezeichne ich die Normalkoeffizienten ab Jetzt immer mit a , hingegen die primitiven mit b . Wir hatten gesagt, wir intressieren uns insbesondere für vollständig zerfallende Polynome.
x ( i ) := p ( i ) / q ( i ) € |Q ; i = 1 , . . . , n ( 2c )
Der Zusammenhang zwischen den x ( i ) in ( 2c ) und den a ( i ) in ( 2a ) wird ja vermittelt durch den Satz von Vieta; mit die einfachste dieser Aussagen lautet
a0 = ( - 1 ) ^ n x1 x2 x3 . . . x ( n - 1 ) x ( n ) ( 3a )
( 3a ) alleine gibt an sich noch nicht viel her; mit ( 3a ) wäre noch vereinbar, dass die x ( i ) in einer ===> dichten Teilmenge von |Q liegen. Gänzlich anders stellt sich die Chose dar, so bald wir das zu ( 3a ) analoge Handshake zwischen ( 2c ) und ( 2b ) ins Auge fassen, das Handshake zwischen Vieta und SRN . Nennen wir sie die Gauß-Godzilla pq-Formeln ( GGPQ ) ( 3bc )
b0 = ( - 1 ) ^ n p1 p2 p3 . . . p ( n - 1 ) p ( n ) ( 3b )
b ( n ) = q1 q2 q3 . . . q ( n - 1 ) q ( n ) ( 3c )
Wenden wir doch ( 3bc ) gleich an auf unser Beispiel ( 1b )
p1 p2 p3 = - b0 = ( - 16 ) ( 3d )
q1 q2 q3 = b3 = 5 ( 3e )
Mit ( 3e ) sind nur vereinbar zwei ganzzahlige so wie eine fünftelzahlige Wurzel. Etwas undurchsichtig gestaltet sich die Zerlegung des Absolutgliedes 16 im Zähler. Doch ist bereits jetzt klar, dass p1;2;3 TEILER FREMD .
Woher weiß ich jetzt das schon wieder? Meine zweite Entdeckung.
( Hier wer glaubt im Ernst, ein Gauß hätte sich nie Gedanken gemacht über diesen ggt, hätte er denn den SRN gekannt? )
Ich beschränke mich jetzt mal bewusst auf den kubischen Fall ( 1b ) , obwohl das allgemeine Prinzip schnell klar wird. Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von Vieta
m | p1;2;3 <===> m | b2 ; m ² | b1 ; m ³ | b0 ( 4a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms g in ( 1b ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . Die Behauptung in ( 1b )
ggt p1;2;3 = gkt ( g ) ( 4b )
Teiler fremd hatten wir gesagt. Nun ist aber 16 = 2 ^ 4 . Die Zweier müssen jetzt so verteilt werden, dass eine der drei Wurzeln keine abbekommt. D.h. notwendig muss sich eine der Lösungen in der Menge tummeln
M := { +/- 1 ; +/- 1/5 } ( 5 )
In der angegebenen Reihenfolge hat eine rationelle Lösungsstrategie vorzugehen; erweisen sich alle vier als Flops, ist unser Ansatz von der vollständigen Zerfällbarkeit widerlegt; etwas, worüber man vor dem SRN genau gar nichts wissen konnte.
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