Schnittstelle von einer Geraden und einer e-Funktion

Question

Hallo, bei der untenstehenden Aufgabe komme ich leider nicht weiter. Ich habe die Lösungen, kann diese aber nicht nachvollziehen. Ich bin dankbar für jede Hilfe!

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f und h mit den Gleichungen f(x)=(x−3)⋅e^x,
h(x)=x-3.

Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen f und h .

Hier findet ihr die Lösung:

$f(x)=h(x) \Leftrightarrow(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}=x-3 \Leftrightarrow(x-3) \cdot\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \vee \mathrm{e}^{x}-1=0$
$\Leftrightarrow x=3 \vee x=0$

Vielen Dank!

Answer 1

Gegeben sind die Funktionen f und h mit den Gleichungen $f(x)=(x−3)⋅ e^{x}$ ,
$h(x)=x-3$

$(x−3)⋅ e^{x}=x-3|-(x-3)$

$(x−3)⋅ e^{x}-(x-3)=0$

Ausklammern von $(x−3)$:

$(x−3)*( e^{x}-1)=0$

Satz vom Nullprodukt:

1.) $(x−3)=0$

$x₁=3$

2.) $( e^{x}-1)=0$

$e^{x}=1$

$x*lne=ln(1)$      $ln(e)=1$    $ln(1)=0$

$x₂=0$        $e^{0}=1$ → eine Zahl hoch 0 ist immer 1

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Habe das Ausklammern von (x-3) nicht erkannt.