Basis aus Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Es seien $A=\left(\begin{array}{cccc}{-1} & {3} & {-3} & {-3} \\ {0} & {-1} & {2} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {2} & {-1}\end{array}\right) \in \mathrm{R}^{4 \times 4}$ und $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}{-\frac{3}{4}} \\ {1} \\ {1} \\ 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4}$

(a) Berechnen Sie $A \vec{x}$.

(b) Bestimmen Sie eine Basis von $\mathbb{R}^{4}$, die aus Eigenvektoren besteht.

(c) Bertimmen Sie eine Matrix $T \in \mathrm{GL}_{4} \mathbb{R}$ derart, dass $T^{-1} A T$ eine Diagonalmatrix ist.

(d) Bestimmen Sie $T^{-1} A T$.

(e) Bestimmen Sie det(A).

Lösung:

- $A \vec{x} = 3 \vec{x}$

- Ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist $^{t}(1,0,0,0)$ $\cdot$

- Mit der Information, dass 3 ein Eigenwert ist, berechnet man verhältnismäßig einfach $\operatorname{det}(A-\lambda E)=(\lambda+1)(\lambda-3)(\lambda+3)^{2}$.

- Durch eine Rechnung ermittelt man zweil linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $-3$ sind $^{t}(-3,1,-1,0)$ und $^{t}(-3,1,0,-1)$

- Eine Transformationsmatrix mit der gewünschten Eigenschaft ist:

$T=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {-\frac{3}{4}} & {-3} & {-3} \\ {0} & {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {-1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {-1}\end{array}\right)$

Wir erhalten $T^{-1} A T=\operatorname{diag}(-1,3,-3,-3)$.

- det $(A)=-27$

Problem:

Bitte Aufgabe 2 b erklären. Ich verstehe diesen Schritt und auch den Zusammenhang nicht warum die Basis 1000 ist.

Comments

Das ist keine Basis vom R⁴ sondern ein Eigenvektor. Diesen und den dazugehörigen Eigenwert -1 kann man ohne Rechnung erkennen. Vorher hat man auch schon einen Eigenvektor zum EW 3 bestimmt. Damit ist man ja aber noch nicht fertig.

Answer 1

Mit den Hinweisen von Lu hast du ja schon mal die Eigenvektoren

^t(1;0;0;0) und

^t( -3/4  ;  1 , 1 ; 1)

Wie  Eigenvektoren zum Eigenwert  - 3 aussehen wird

in der Lösung unter Punkt 4 gesagt. Die dort erwähnte

"Rechnung" ist die Lösung des Gleichungssystems

A * ^t( x1;x2;x3;x4) =  - 3 * ^t( x1;x2;x3;x4)   also

(A + 3*E) * ^t( x1;x2;x3;x4) =  0-Vektor

Damit hast du 4 Eigenvektoren und die letzten zwei sind lin. unabh.

( siehe Punkt 4 der Lösung) und die anderen gehören zu anderen

Eigenwerten somit sind alle 4 lin. unabh. und bilden

damit eine Basis von R⁴ .

Und diese Basis bilden genau die Spalten von T.

Answer 2

2b) Du musst 4 linear unabhängige Eigenvektoren angeben, damit du eine Basis des R⁴ hast.

Wenn (1|0|0|0)^t ein Eigenvektor zum Eigenwert (-1) ist, muss A*(1|0|0|0)^t = (-1|0|0|0) sein.

Das kannst du als Erstes einmal nachprüfen und dann weitere Eigenvektoren und Eigenwerte suchen. 

Aus a) weisst du schon, dass 3 ein Eigenwert und x ein Eigenvektor von A ist. usw.