Aufgabe:
Es seien \( A=\left(\begin{array}{cccc}{-1} & {3} & {-3} & {-3} \\ {0} & {-1} & {2} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {2} & {-1}\end{array}\right) \in \mathrm{R}^{4 \times 4} \) und \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{-\frac{3}{4}} \\ {1} \\ {1} \\ 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \)
(a) Berechnen Sie \( A \vec{x} \).
(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} \), die aus Eigenvektoren besteht.
(c) Bertimmen Sie eine Matrix \( T \in \mathrm{GL}_{4} \mathbb{R} \) derart, dass \( T^{-1} A T \) eine Diagonalmatrix ist.
(d) Bestimmen Sie \( T^{-1} A T \).
(e) Bestimmen Sie det(A).
Lösung:
- \( A \vec{x} = 3 \vec{x} \)
- Ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist \( ^{t}(1,0,0,0) \) \( \cdot \)
- Mit der Information, dass 3 ein Eigenwert ist, berechnet man verhältnismäßig einfach \( \operatorname{det}(A-\lambda E)=(\lambda+1)(\lambda-3)(\lambda+3)^{2} \).
- Durch eine Rechnung ermittelt man zweil linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert \( -3 \) sind \( ^{t}(-3,1,-1,0) \) und \( ^{t}(-3,1,0,-1) \)
- Eine Transformationsmatrix mit der gewünschten Eigenschaft ist:
\( T=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {-\frac{3}{4}} & {-3} & {-3} \\ {0} & {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {-1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {-1}\end{array}\right) \)
Wir erhalten \( T^{-1} A T=\operatorname{diag}(-1,3,-3,-3) \).
- det \( (A)=-27 \)
Problem:
Bitte Aufgabe 2 b erklären. Ich verstehe diesen Schritt und auch den Zusammenhang nicht warum die Basis 1000 ist.
