Konvergenzradius von $\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } { z }^{ n }$ bestimmen.

Question

Konvergenzradius von $\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } { z }^{ n }$ bestimmen.

Von der Potenzreihe $\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } { z }^{ n }$ wurde der Konvergenzradius folgendermaßen bestimmt, aber ich verstehe die Musterlösung nicht: $$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } { z }^{ n }\quad \quad |\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } } |=|\frac { { 2 }^{ \sqrt { n } } }{ { 2 }^{ \sqrt { n+1 } } } |={ 2 }^{ \sqrt { n } -\sqrt { n+1 } }\\ \longrightarrow \frac { (\sqrt { n }- \sqrt { n+1 } )(\sqrt { n }+ \sqrt { n+1 } ) }{ \sqrt { n } +\sqrt { n+1 } } =\frac { -1 }{ \sqrt { n } +\sqrt { n+1 } } \longrightarrow 0$$

Kann mir jemand erklären wie man auf die zweite Zeile kommt? Und wie könnte man es mit Cauchy-Hadamard berechnen? Ich hätte es so versucht: $$r= \frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { \sqrt { n } }{ n } } } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { 1 }{ \sqrt { n } } } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ \sqrt { n } ]{ 2 } } $$ aber da kommt bei mir für den Konvergenzradius $∞$ raus. Was mache ich falsch?

Gefragt 18 Mär 2016 von Sam94

Konvergenzradius von \(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } { z }^{ n }\) bestimmen.

1 Antwort

Ähnliche Fragen