Rechnen mit komplexen Zahlen (Ungleichung)

Question

wie löse ich folgende Aufgaben:

1) |1+iz|² < 1

2) Im(z-i) > 0

Muss ich für z die allgemeine Darstellung einer komplexen Zahl einsetzen und weiterrechnen oder wie gehe ich da vor?

Comments

Sollst du die Zahlenmengen in der komplexen Zahlenebene darstellen?

Oder, was genau ist das Ziel der beabsichtigten Rechnerei?

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"Sollst du die Zahlenmengen in der komplexen Zahlenebene darstellen?"

> Ja, ich muss aber vorher z bestimmen.

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Du kannst doch die Punktmenge mit Im(z) > 0 einzeichnen ohne zu rechnen (?)

Lösung: "Obere Hälfte" der komplexen Zahlenebene.

Und nun eine geeignete Parallele zur reellen Achse zeichnen und alles oberhalb davon als Im(z -i) > 0 schraffieren.

Natürlich darfst du auch rechnen.

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Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch? Wie kommst du von Im(z-i) > 0 auf Im(z) > 0? :s

Answer 1

Zu:    |1+iz|² < 1  

Da der Betrag nie negativ ist, ist das äquivalent zu

         |1+iz| < 1   

    | i * ( 1/i  + z ) | < 1

| i | * | 1/i  + z  | < 1      es ist  1/i = - i   und  | i | = 1 also

          | - i + z | < 1

Nun ist es bei den komplexen Zahlen, wenn man sie als Punkte im

Koordinatensystem sieht, ja so dass    die Differenz zwei Zahlen

der Verbindungsvektor  der Punkte dargestellt wird also ist

 | - i + z|   bzw   |z - i  |  die Länge des Verbindungsvektors von i nach

z gemeint und wenn ich i mit allen Punkten verbinde, bei denen der

Verbindungsvektor kürzer als 1 ist, dann ist das z im Kreis um i mit dem

Radius 1.