In einem Punkt differenzierbare Funktionen:

Question

Hi alle miteinander,

in unserem Analysis 1 Skript gibt es eine, für mich noch unverständliche, Definition der Differenzierbarkeit in einem Punkt einer beliebigen Funktion.

"Eine auf einer Menge E ⊂ ℝ definierte Funktion f: E -> ℝ ist in einem
Punkt a aus E, der ein Häufungspunkt von E ist, differenzierbar,
wenn eine lineare Funktion A*(x - a) des Inkrements im Argument
x - a existiert, so dass f(x) - f(a) wie folgt dargestellt werden kann:
f(x) - f(a) = A * (x - a) + o(x-a) für x -> a, x aus E."

A*(x-a) ist eine lineare Funktion, das ist offensichtlich. Jedoch ist
mir unklar was o(x-a) sein soll? Weder in einem ausgeliehenem Buch,
noch im Skript wird erklärt was o(x-a) ist.

Kann mir jemand mit einer beliebigen Funktion die Ableitung dieser
beliebigen Funktion mit A * (x - a) + o(x-a) berechnen?

In sehr vielen Skripten wird oftmals nur die Definition "lim _x->a ((f(x) - f(a)) / ((x - a)))" erwähnt. Wie man damit ableitet weis ich. Unser Professor legt leider mehr Wert auf die andere Definition.

Liebe Grüße :-)

Answer 1

Ein Beispiel mit \(f(x)=x^2\): $$x^2-a^2=2a(x-a)+(x-a)^2.$$ Es ist \(A=2a=f'(a)\) und \((x-a)^2=o(x-a)\). Siehe Landau-Symbole. Die stehen bestimmt im Skript, vor allem, wenn der Prof. darauf sogar besonderen Wert legt.

Comments

:-)

LG