Limes (x → 1) (1/lnx - 1/(x-1)) – Notiz dazu erklären

Question

Ich hab mir letztes Jahr mal einen Notiz gemacht, wie man einen Limes gegen etwas "laufen" lässt. Ich kann mich erinnern, dass das nicht so schwer war, aber irgendwie kann ich mir das daraus nicht mehr herleiten.

Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das laufen soll und wenn nicht 0 herauskommt, dann ist man fertig... Könnte mir bitte jemand meine Notiz erklären.

\( \begin{aligned} &=\lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right) \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-1-\ln x}{(x-1) \ln x} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x+\frac{x-1}{x}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{x-(x-1)}{x^{2}}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{2} \end{aligned} \)

Comments

Hallo Maria,

  deine Fragen wird dir wahscheinlich niemand beantworten können da für x = 1
sowohl eine

  - linksseitige ( 0.99999. ) also von unten

als auch eine

  - rechtseitige Annäherung ( 1.000000...1 ) also von oben möglich ist.

  Einfaches Beispiel :

  linksseitige Annäherung :
  lim x -> 1(-) ist  für [ 1/ ( x - 1 ) ]  = 1 / (-0.00001) = - unendlich

  rechtsseitige Annäherung :
  lim x -> 1(+) ist  für [ 1/ (x - 1 )]  = 1 / (+0.00001) = + unendlich

  Wenn eine Annäherung an x = 1 untersucht werden soll, dann bitte angeben ob von links
oder rechts. Fällt mit gerade ein : deine Beispiele müßte man auf beide Fälle  untersuchen.

  Mathematisch lim x -> 1 gibt es nicht sondern x -> 1(-) und lim x -> 1(+).

  mfg Georg

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"Mathematisch lim x -> 1 gibt es nicht sondern x -> 1(-) und lim x -> 1(+)."

Was soll das heißen "gibt es nicht"?
Wichtig ist das "Wohin", nicht das "Woher".

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In meinem Beispiel ist das Wohin x = 1 ( Polstelle ).

Wichtig in diesem Beispiel doch das Woher.

von links   lim x -> 1(-) Ergebnis minus unendlich
von rechts lim x -> 1(+) Ergebnis plus unendlich

  mfg Georg

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Hallo Georg!

Die Differenz ist an der Stelle x = 1 zwar nicht definert,
hat dort aber auch keinen Pol, sondern ist stetig fortsetzbar,
wie die Grenzwertberechnung ja auch deutlich macht.

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  in meinem ersten Kommentar ( s.oben ) wählte ich ein einfaches Beispiel 1/ ( x - 1 ).
Alle meine Ausführungen beziehen sich auf mein Beispiel nicht auf das Beispiel der
Fragestellerin.  In meinem Beispiel ist bei x = 1 eine Polstelle.

  mfg Georg

 PS. Durch die auf mich etwas verwirrenden Ausführungen der Fragestellerin
" Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das laufen soll und
wenn nicht 0 rauskommt ist man fertig." 
habe ich keinen Zusammenhang zwischen den Termen gesehen. Ich habe
mich zunächst an lim x -> 1 gestört. Der Beantworter der Frage  hat den Sachverhalt
direkt besser erkannt.

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Ok, ich dachte, Du wolltest Aussagen über lim(x->1, 1/(x-1)), also den Subtrahenden in der Differenz (1/ln(x)-1/(x-1)), herleiten, was für die eigentliche Aufgabenstellung aber nicht zielführend ist, da die Differenz stetig fortsetzbar sein kein, ohne dass ihre einzelnen Bestandteile dies sein müssen.

Answer 1

Im ersten Schritt wurden die Quotienten zusammengefasst, im zweiten und dritten Schritt nach der Regel von L'Hospital Zähler und Nenner zweimal abgeleitet und im letzten Schritt der Grenzwert durch Einsetzen von x=1 bestimmt.

Comments

alter sei doch mal still ganzen zeit sind die mit deinen aufgaben beschäftigt und sie können unsere fragen nicht beantworten!!!!