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Wie bestimmt man den Grenzwert von Polynomen in allgemeiner Form?
lim x->0 p(x)/q(x) [p(x)=anx^n+...+a1x+a0, q(x)=bmx^n+...+b1x+b0]
Ich hoffe jemand kann mir helfen :)
von

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\[ \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{a_jx^j}{b_kx^k} \]

wobei j bzw. k die kleinste Zahl aus \( \mathbb{N} \)  ist, für die gilt \( a_j \neq 0 \) bzw. \(b_k \neq 0\)

\[ j<k \qquad \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \infty \]

\[ j=k \qquad \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_j}{b_k} \]

\[ j>k \qquad \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = 0 \]

Das kann man dadurch erklären, dass wenn x gegen 0 geht, die höhere Potenz schneller gegen 0 geht.

Das ist analog zu dem Grenzwert bei \(\pm \infty \) wo nur die größten j und k mit der gleichen Bedingung verglichen werden.

Gruß

von 2,4 k

Ah danke echt nett von dir :)

Hallo snoop, bei deinem ersten Fall gibt es aber noch mehrere Möglichkeiten.

Hallo Yakzu,

dann kläre mich bzw. den Fragesteller schnell auf, nicht dass er/sie etwas falsches mitnimmt. Das meine ich ernst, denn ich sehe den Fehler leider nicht.

Ich sehe nur, dass bei \( j\neq k \) sich oben unter unten das \( x \) wegkürzt und damit die Richtung vorgegeben ist. Man kann ja die ganze Gleichung so lange mit \( x \) kürzen bis mindestens ein Vorfaktor ohne \(x \) übrig bleibt. Der Rest ergibt sich dann.

Gruß

Das mit den mehreren Möglichkeiten war eher darauf bezogen, dass der Grenzwert nicht unbedingt (plus) unendlich sein muss im ersten Fall :). Es ist schon abhängig von den Vorzeichen von \(a_j\) und \(b_k\). Außerdem muss man eigentlich auch, falls \(k-j\) ungerade ist vor allem zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert unterscheiden.


Ich mache noch eine Korrektur fertig.

\( \)

hier die Korrektur. Bitte noch einmal kontrollieren Yakyu.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{a_j x^j}{b_k x^k} \]

dabei sind  \( j \) und \( k \) die kleinsten Zahlen aus \( \mathbb{N} \) für die gilt \(a_j \neq 0 \) und \( b_k \neq 0 \)

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a_j x^j}{b_k x^k} = \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \to 0} x^{j-k} \]

Yakyu hatte meinen Fehler korrigiert, dass man für \( j \neq k \) noch die Grenzwerte von links und rechts berechnen muss, da sie unterschiedlich sein können.

Ist \( j-k = 0 \) , dann gilt

\[ \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \uparrow 0} x^{j-k} =\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{j-k}=\frac{a_j}{b_k} \]

Ist \( j-k \neq 0 \) gerade, dann gilt

\[ \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \uparrow 0} x^{j-k} =\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{j-k}=\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \to 0} x^{\pm 2}= \frac{a_j}{b_k} \infty^{\mp 1} \]

Ist \( j-k \neq 0 \) ungerade, dann gilt

\[ -\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \uparrow 0} x^{j-k} = \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{j-k} = \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{\pm 1}=\frac{a_j}{b_k} \infty^{\mp 1}\]

Gruß

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