komplexe Zahlen beweisen

Question

Ich komm hier gar nicht weiter, hoffentlich gibt es jemanden hier der sich damit auskennt

| e^z | = e^ (Re(z))

arg (e^z)= Im(z)

könnte es vielleicht sein, dass die beiden falsch sind ?

Answer 1

Hallo

zur 1. Aufgabe:

Comments

Ich verstehe eins nicht wie kommst von vom zweiten Schritt zum dritten wenn man Cos und sin verwendet fällt e nicht weg ??

Das wäre nett wenn du mir das erklären könntest

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Ich habe die Eulersche Formel angewendet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

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Tut mir leid, dass kann ich grad gar nicht nachvollziehen

Du hast ja im zweiten Schritt stehen                  | e^{Re(z)}cos(b)+ i e^{Re(z)} sin(b)|

Aber das ist ja nicht gleich das |e^{x+iy}|

Das e ^Re(z) verwirrt warum du das da geschrieben hast

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EDIT: Achtung:

Wenn ihr mehr als eine Klammer im Exponenten habt, funktioniert die automatische Umwandlung nicht und es gibt ein Durcheinander.

Sie wird verhindert, wenn nach dem Caret-zeichen ein Abstand eingefügt wird.

Bsp. e^ (Re(z)) 

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Re(z) = a ist eine EXTRA Zeile. und bezieht sich auf de rechte Seite.

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Ahso ok, das hat mich total verwirrt :/

Hast du vielleicht eine Idee wie ich die zweite Aufgabe weiter führen kann ??

Answer 2

[ edit: Antwort vereinfacht:]

sei z = a + b • i 

e^z = e^a+bi = e^a • e^bi = e^a • (cos(b) + i • sin(b) ) 

→ arg(e^z) = b = Im(z)  und  | e^z | = e^a = e^Re(z) 

Gruß Wolfgang  

Comments

Bei der zweiten komm ich nicht weiter

Also das hab ich

arg(e^z) = arg(e^{a+ib})=arg(e^{Re(z)}*e^{Re(z)})= arg(cos(Re(z)+i sin (Im(z)))=???

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sei z = a + b • i
e^z = e^a+bi = e^a • e^bi = e^a • (cos(b) + i • sin(b) )
→ arg(e^z) = b = Im(z)
und auch gleich:  | e^z | = e^a = e^Re(z) , also Gleichung 1)

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??

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war noch am Probieren :-) , habe den letzten Kommentar ergänzt und die Antwort oben entsprechend vereinfacht.

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Das verstehe ich nicht :/ wie du auf arg(e^z) gekommen bist und dann gleich b und das soll im (z) ??

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z = a + b • i = r  • e^i·φ = r • ( cos(φ) + i • sin(φ) ) sind die bekannten Darstellungen einer komplexen Zahl.

[ Formeln von Euler und de Moivre ]

mit a = Re(z), b = Im(z) ,r = |z|  und φ = Arg(z)