Wie bestimmt man Extremwerte bei Funktionen mit 2 Variablen?

Question

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet die Art und Lage der lokalen Extrema von f(x,y)=(x³+3x² +1)cosh(y) zu bestimmen und dann die Taylorentwicklung von f an den Extremstellen bis zur zweiten Ordnung.

Meine Ideen:
Ich habe grad(f(x,y))=(3x²+6x)cosh(y), (x³+3x²+1)sinh(y)). Könnte jemand überprüfen, ob ich die Funktion richtig abgeleitet habe? Denn sonst ist ja der weitere Rechenweg auch falsch.
Als kritische Punkte habe ich dann (0,0) und (-2,0). Ich bin mir nicht sicher, ob das alle kritischen Punkte sind? Durch Aufstellen der Hesse-Matrix habe ich dann herausbekommen, dass (0,0) ein Minimum und (-2,0) ein Sattelpunkt ist. Wenn jemand das bis hierhin überprüfen könnte und ggf. sagen, was falsch ist, wäre ich echt dankbar.

Zu der nächsten Aufgabe habe ich nur das für (0,0): T=f(0,0)+dxf(0,0)(x-0)+dyf(0,0)(y-0)+dxdyf(0,0)(x-0)(y-0)+dxdxf(0,0)(x-0)²+dydyf(0,0)(y-0)². Ist das soweit richtig? Dann muss ich nur die Werte berechnen.
Vielen Dank :)

Answer 1

grad(f(x,y))=(3x²+6x)cosh(y), (x³+3x²+1)sinh(y)).   stimmt.

Als kritische Punkte habe ich dann (0,0) und (-2,0).

Ich bin mir nicht sicher, ob das alle kritischen Punkte sind?

Doch, sind alle; denn f '_x (x,y) = 0 nur für x=0 oder x=-2   und

die andere bei x=0 oder x=-2 nur wenn y=0 ist.

Hessematrix habe ich nicht nachgerechnet, sieht aber sinnvoll aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x3%2B3x2+%2B1%29cosh%28y%29