Ich habe hier folgende Betragsungleichung:
|2 - x| >= 4 |x+2|
Ich komme für x auf folgende Lösungen: -2 , -(10/3) und -(6/5), es gibt aber laut Lösung noch eine: -3, wie komm ich denn auf die -3? Ich habe anscheinend einen Fall übersehen, aber mir ist nicht klar welcher... Kann jemand bitte kurz helfen?
Hier einmal die Berechnung 1 Falles
~plot~ abs(2-x)-4*abs(x+2);x=-2;x=2 ; [[ -5 | 5 | -25 | 5 ]] ~plot~
Alles was oberhalb der x-Achse ist gehört zur Lösungsmenge.
Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktionterm > 0 : | term | = termterm < 0 : | term | = term * (-1)Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellenHier x = -2 und x = 2- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen - es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.
Es braucht keine Fallunterscheidung.$$\quad\ \vert 2-x\vert\ge4\vert x+2\vert$$$$\Leftrightarrow(x-2)^2-(4x+8)^2\ge0$$$$\Leftrightarrow(3x+10)\cdot(5x+6)\le0.$$
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