Polynomraum, euklidischer Algorithmus, Identität

Question

Für den größten gemeinsamen Teiler von f und g habe ich ggT(f, g) =  x + 2 raus. Stimmt das? Und wie zeige ich dass phi = -2 * id_v ist ?

Comments

Dein ggT passt. Mal eine einfache Überlegung: Mit deinem Ergebnis haben die beiden Polynome genau eine gemeinsame Nullstelle.

Answer 1

Ein Versuch zum zweiten Teil:
$g(\Phi)=0$ impliziert $\Phi=-2\cdot\operatorname{id}_V$ oder $\Phi=3\cdot\operatorname{id}_V$.
Es ist $f(-2\cdot\operatorname{id}_V)=0$ sowie $f(3\cdot\operatorname{id}_V)=35\cdot\operatorname{id}_V$.
Falls $\operatorname{char}K=5$ ist, gilt $3\cdot\operatorname{id}_V=-2\cdot\operatorname{id}_V$.
Sonst gilt $f(3\cdot\operatorname{id}_V)\ne0$, da nach Voraussetzung $\operatorname{char}K\ne7$ ist.
Es bleibt $\Phi=-2\cdot\operatorname{id}_V$.