Grenzwerte von Funktionen. Bsp. lim_(x→0) ((cos(x)-1)/(x)), lim_(x→1) ((x^n-1)/(x-1))...

Question

EDIT(Lu): Kopie der Fragestellung im Kommentar: 

a) lim_x→0  ((Wurzel(x+1)-1)*sin (x)/((x²*(x-5)²)) 

b) lim_x→0 ((cos(x)-1)/(x))

c) lim_x→1 ((xⁿ-1)/(x-1))

d) lim_x→0 (1/(1+2^(1/x)))

ich bin mir bei den Grenzwerten, bei denen das x gegen eine Zahl wie 0 oder 1 geht noch nicht so ganz sicher und würde mich freuen, wenn ihr euch mal meine Lösungen zu einer Aufgabe anschauen könntet.
a) Limes mit x->0 von (Wurzel(x+1)-1 * sin (x)/(x²*(x-5)²) = 0, weil die Terme sowohl im Zähler, als auch im Nenner gegen 0 gehen.b) Limes mit x->0 von (cos(x)-1/(x))=0, weil hier auch die Terme im Zähler und im Nenner gegen 0 gehen.c) Limes mit x ->1 von ((xⁿ-1)/(x-1))=0, selbe Begründung wie bei den obigend) Limes mit x->0 von (1/(1+2^(1/x)))= 0,5, weil der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen 2 geht.Ist das jetzt alles richtig, oder habe ich irgendwas missachtet und einen Fehler gemacht?

Comments

Klammern überprüfen. Wozu steht dort eine 1? 

 (Wurzel(x+1)-1 * sin (x)/(x²*(x-5)²) = 0

Bitte auch gleich noch versuchen die Gliederung zu verbessern (ich weiss, dass das manchmal ein Ärger ist) 

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Achtung: 0/0 ≠ 0.

So darfst du nicht argumentieren. 

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Ja tut mir leid, ich wusste nicht genau wie ich das eingeben sollte. ((Wurzel(x+1)-1)*sin (x)/((x²*(x-5)²)) = 0 

So musste die Funktion richtig lauten, hatte da einen Klammerfehler.

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Achso, aber dann verstehe ich nicht ganz wie man dann auf die Grenzwerte kommen soll. Was ergibt denn 0/0 ?

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Das ist nicht definiert. 

Wenn so was auftritt, musst du eine Reihe von Regeln und Umformungen kennen, die dir weiterhelfen.

Z.B. kürzen, Hospital .... Kommt halt drauf an, was ihr überhaupt benutzen dürft. 

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a) lim_x→0  ((Wurzel(x+1)-1)*sin (x)/((x²*(x-5)²)) 

b) lim_x→0 ((cos(x)-1)/(x))

c) lim_x→1 ((xⁿ-1)/(x-1))

d) lim_x→0 (1/(1+2^(1/x)))

Hoffe, man kann es so besser lesen

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Könntest du mir das mal vielleicht an den Beispielen hier vormachen?

Wäre wirklich eine große Hilfe.

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Mittlerweile bin ich auf alle Lösungen bis auf a) und d) gekommen. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

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Ok d) habe ich jetzt auch herausfinden können. Habe da als Limes 0 heraus. Aber bei a) komme ich selbst nach L'hospital auf 0/0. Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg dort den Grenzwert zu bestimmen?

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Schau dir mal den Graphen von d) an

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F(1%2B2%5E(1%2Fx)))

Der verlangte Grenzwert existiert bestimmt nicht. 

Versuche das zu begründen. 

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Achso, weil 0 nicht im Definitionsbereich liegt?

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Ne quatsch, das liegt daran, dass der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert verschieden sind, oder?

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Aber wie schreibt man das eigentlich formal richtig hin? Die rechtsseitige und die linksseitige Funktion müssten sich doch unterscheiden. 

Answer 1

Zu b)

Hier hast Du den Fall 0/0 --->Regel von L'Hospital:

(Zähler und Nenner getrennt voneinander ableiten)

= lim (x--->0) (-sin(x)/1)

= lim (x--->0) (-sin(x))

=0

Comments

Gilt diese Regel von L`Hospital eigentlich auch für -unendlich/unendlich oder -unendlich/-unendlich?