Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. lim_(x->π) (1-cos(x))/(2tan(x))

Question

Hallo

Bräuchte mal wieder ein paar Ansätze zum berechnen des Grenzwertes von:

1.)$$\lim _{ x->\pi  }{ \frac { 1+\cos { (x) }  }{ 2*\tan { (x) }  }  } $$

2.)$$\lim _{ x->0 }{ \frac { 1 }{ \cos { (x) } -1 }  } -\frac { 1 }{ 2x } $$

Hat 1.) überhaupt einen Grenzwert? Wenn man Pi einsetzt gibt das 0/0 . wen man die regel von l-Hospital benutzt ergibt das glaube ich 1/2

Answer 1

Habs mal schnell gerechnet :

Comments

kann man einfach aus -2/0 auf - unendlich schließen?

Answer 2

zu 1): ja diese Polstelle ist analog zu 1/x um 0 sogar abhängig, aus welcher Richtung man kommt:

Reihenentwicklung: (1-cos(x))/(2tan(x)) = 1/(x-Pi)-7(x-Pi)/12+...

kommt man von links nach Pi ergibt Limes = -∞

kommt man von rechts nach Pi ergibt Limes = +∞

zu 2) Reihenentw -2/x²-1/(2x)-1/6-x²/120-...  ,d.h. Lim = -∞   egal aus welcher Richtung man kommt

Comments

Die Funktion ist 1 + cos (x) nicht 1 - cos(x)
Und nach Reihenentwicklungen wird doch hier nirgends gefragt?

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Danke - ja. Aufgabe 1) lautet +cos und damit Reihenentwicklung: (x-Pi)/4-(x-Pi)³*5/48+...

und mit x=Pi wird daraus ein eindeutiger einfacher Grenzwert = 0

(hatte von der Überschrift abgeschrieben)

-> ist doch doppelt sicher, dass wir mit 2 verschiedenen Algorithmen zum selben Ergebnis kommen.

Auch wenn nach Reihenentwicklungen nicht gefragt wurde, ist es immer eine sichere Kontrolle.