Es sei M=(abbd)M=\begin {pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} eine reelle, symmetrische 2x2-Matrix.

Question

eine reelle, symmetrische  $(2×2)-Matrix$. Zeigen Sie ohne Verwendung des Satzes von Hurwitz, dass $M$ genau dann positiv definit ist, wenn  $a > 0$ und  $detM > 0$.

Hinweis: Verwenden Sie quadratische Ergänzung.

Answer 1

Die quadratische Form ist $$Q(x,y)=ax^2+2bxy+dy^2.$$ An der sollst Du mit quadratischer Ergaenzung rummachen, bis man man das gewuenschte ablesen kann. Hilfreich ist $aQ$ zu betrachten.

Comments

Kann mir jemand dazu ein Beispiel zeigen?  Ich brauche keine Musterlösung, aber ein Beispiel würde mir sehr helfen.

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Du kannst in $a^2x^2+2abxy$ nicht die ersten zwei Glieder eines Ausdrucks der Form $(\alpha+\beta)^2$ erkennen? Dann hast Du noch nie was von quadratischer Ergaenzung gehoert. Beispiele stehen in der Wikipedia oder in alten Matheheften aus der Mittelstufe.