gleichung der ebene durch den punkt p1 parallel zur ebene

Question

ich wollte wie folgt vorgehen :

da die ebenen parallel verlaufen sind die normalenvektoren gleich also ist a x b = n1 = n2

n1 = (-6 ; 17; -4)

die gleichung einer ebene durch einen punkt lautet

n * (r - r1) = 0

das sind dann (-6; 17; -4) * (x-2 ; y-1 ; z-4) = 0

aufgelöst sind das dann : -6x+17y-4z+11 = 0

diese koordinatengleichung wollte ich dann in parameterform bringen

nach z aufgelöst : z = -6/4 x + 17/4 y +11

x = r

y = s

dann lautet meine ebenenparameterform :

(0;0;-6/4) + r(1;0;17/4)+s(0;1;11/4)

ich wollte mein ergebnis prüfen und schauen ob n1 x n2 = 0 ist aber kommt leider nicht raus

könnte mir jemand helfen ?

Answer 1

Parameterform

E: X = [6, - 17, 4] + r *  [3, 2, 4] + s * [2, 0, -3]

Koordinatenform

n = [3, 2, 4] ⨯ [2, 0, -3] = [-6, 17, -4] = - [6, - 17, 4]

E: X * [6, - 17, 4] = [2, 1, 4] * [6, - 17, 4]

E: 6x - 17y + 4z = 11

Comments

muss ich es nicht in parameterform angeben ?

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Du musst es nicht in Parameterform angeben. Du kannst die Form frei wählen, wenn keine vorgegeben ist. Wenn du die Parameterform wählst wäre es aber unsinnig einen Normalenvektor zu berechnen. Dann kannst du einfach die Richtungsvektoren übernehmen.

Answer 2

Hm... und was genau spricht dagegen, den Stützvektor durch den Ortsvektor von P_1 zu ersetzen?

Answer 3

Hi!

Parallelität bedeutet ja:

Normalenvektoren sind kollinear:

Normalenvektor der Ebene E ist ja

Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren:

n(-6|17|-4)

Der Normalenvektor jeder parallelen Ebene muss also derselbe sein.

Noch den Punkt P einsetzen und wir erhalten für die zu E parallele Ebene  in Normalenform:

E:(x-(2|1|4))*(-6|17|-4)=0

Comments

Hier eine veranschaulichung

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=ebene(-1%7C0%7C0%201%7C0%7C-3%202%7C2%7C4)%0Aebene(2%7C1%7C4%20-1%7C-1%7C0%200%7C1%7C7)