Aufgabe/ Nordhalbkugel

Question

Durchschnittstemperatur auf der Nordhalkugel:

t(x)= 1639900x^{^4}-1118/2475 x^{^3} + 3 3/4 x^{^2} - 8 13/20 x + 13 1/3

x=Monat x1= Mitte des Monat Januar, x2= Mitte des Monats Dezember

a) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Durchschnittstemperatur auf der Nordhalbkugel Mitte Juli am höchsten ist und geben Sie die maximale Durchschnittstemperatur an.

muss man hier nicht den hochpunkt ausrechnen x-wert: müsste 7,... noch was sein habe es nicht ausgerechnet und der y wert gibt dann die maximale Durchschnitsstemperatur an

b) Bestimmen Sie rechnerisch, wann auf der Nordhalbkugel die höchste Durchschnitsstemperatur herrscht und geben Sie die maximale Durchschnittstemperatur an.

ist doch praktisch dasselbe wie a) oder nicht= wann ist Juli (7,...) und maximale durchschnittstemperatur y-wert.. letztendlich ist auch hier der hochpunkt zu berechnen oder?

Ich bitte nur auf meine Frage zu antworten. Keine Lösungen zu geben. Ich weiß, wie man den Hochpunkt berechnet, aber nur nicht, ob mein Vorgehen vom Sinn her stimmt.

Lg

H20

Answer 1

Wenn t die Durchschnittstemperatur auf der Nordhalbkugel darstellt, stimmen deine Ansätze.

Hochpunkt und dazu gehörigen y-Wert ausrechnen.

Ich verstehe nicht, warum zweimal dieselbe Aufgabe gestellt wird, nur mit dem Zusatz, dass man bei b.) nun den genauen Wert des Maximums angeben soll.

Comments

Ich habe da noch eine Frage. Wenn die Aufgabe lautet, wie hoch betrug die Durchschnitsstemperatur auf der Nhkugel. mitte juni und mitte august. in welchem monat herrschen die höheren durchschnittstemperaturen? muss ich da für t(x) nicht einfach t(6) und t(8) einsetzen?. Außerdem zeigt meine vorgegebene Abbildung nur positive Durchschnitsstemperaturen an mein GTR aber negative Durchschnitsstemperaturen. Was ist denn jz richtig? u. im august sind die durchschnittstemperaturen höher (?)

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ich verstehe nur nicht,wieso die durchschnittstemperaturen in meinem Buch auf der Abbildung positiv sind und meine errechneten Werte negativ.?

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Moment ich helfe dir sofort

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Wie lautet denn die Funktionsgleichung?

t(x)= 1639900x⁴-1118/2475 x³ + 3 3/4 x² - 8 13/20 x + 13 1/3  so?

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t(x) = 163/9900x^{^4} - 1118/2475x^{^3} + 3 3/4x^{^2} - 8 13/20x + 13 1/3

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Hier habe ich die Funktion mal in einen Plotter eingegeben:~plot~ 163/9900*x^4 - 1118/2475*x^3 + 3,75*x^2 -8,65x + 40/3; [[ 0 | 13 | 0 | 30]] ~plot~
Ich kann mir vorstellen dass du die Brüche zb 3 3/4 vielleicht falsch eingegeben hast:Mit  3 3/4 ist nämlich nicht 3*3/4, sondern 3+3/4 gemeint

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Achso, wieso denn? Ich dachte da wäre ein * dazwischen. ist das dann bei 8 13/20 auch so?

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Ja das ist echt blöd angegeben. Diese Schreibweise kommt aber nur selten vor.

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Aber wieso ist das denn so? Ich will nicht in Prüfungen auf diese Schreibweise reinfallen

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Wieso ist es so & gibt es noch andere Regeln bei anderen Schreibweisen?

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 Wie gesagt die Schreibweise ist eher unüblich.

Normal steht dann da 3 * 3/4 bzw. gleich 9/4.

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Gilt das nur bei solchen Restzahlen 3 3/4 9 8/6 ? u. warum kommt da ein + hin. Gibt es einen expliziten Grund?

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Wenn du Beispielsweise 53/3 hast, entspricht das ca. 17,666666. Diese Schreibweise hilft nun

dabei die 17 als Dezimalzahl und die Nachkommastellen als Bruch darzustellen. SO erhält man keine Rundungsungenauigkeiten wie bei 17,66666. In dieser Schreibweise entspräche das dann ja

17 2/3 bzw. 17+2/3 natürlich nicht zu verwechseln mit 17*2/3.

Das ist zwar tückisch und hat meiner Meinung keinen großen Nutzen, wird aber nur selten genutzt

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Achso, danke. Jetzt verstehe ich das. Danke Dir! :). Habe mich schon gewundert, warum bei mir vorhin komische Zahlen rauskamen. &  noch eine Frage. Wenn es lautet in welchem Monat die momentane Änderungsrate der Durchschnittstemperatur am größten ist und wie groß sie ist, muss ich da nicht den den x-Wert in die 1.Ableitung einsetzen (differentialquo.)? aber wie komme ich auf den monat? soll ich jeden einzelnen monat ausprobieren oder direkt aus dem graphen ablesen, dass es juli ist? denn der juli hat doch die höchste durchschnittstemperatur. und dann 1.ableitung bilden und 7 einsetzen?

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Nein. Überlege dir: Was ist denn die momentane Änderungsrate? -> Das steigungsverhalten des GraphenDas bekommst du ja über die erste ABleitung heraus. Diese momentane Änderungsrate soll nun maximal sein. Wir brauchen also das Maximum, bzw. den Hochpunkt der ersten Ableitungsfunktion:Wir gehen also genauso vor wie bei Extrema der Ursprungsfunktion, nur das wir jetzt als notwendige Bedingung die erste ABleitung gleich 0 setzen:Die x-Werte die wir daraus erhalten setzen wir in der hinreichenden Bedingung in die dritte Ableitung ein, um sie als sogenannte Wendepunkte zu bestätigen ( f'''(t) ≠0) .Wir errechnen also die Wendepunkte.Übrigens ist nicht der juli der Monat mit der maximalen Änderungsrate. Genau genommen ist im Hochpunkt der Funktion, also im Juli die momentane Änderungsrate gleich 0,weshalb man für die Bestimmung von Extrema die ersate ABleitung 0 setzt. Wenn du nicht weißt wie man Wendepunkte bestimmt: hier ein Link
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/wendepunkt-berechnen.html

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du meinst wohl die zweite Ableitung 0 setzen?*

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Oh sorry hab ich erste geschrieben? Natürlich meinte ich die zweite ABleitung :)

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Okay. Also den x-wert vom wendepunkt in die 1.ableitung einsetzen, um die momentane änderungsrate, die steigung in einem punkt herauszubekommen? zu der aufgabe.

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Ja genau. Der x-Wert des Wendepunkts ist auch der Monat

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eine Frage beim Hochpunkt:

die 1.ableitung lautet 652/9900 x^{^3} - 3354/2475x^{^2}+30/4x-173/20

wie gehe ich da bei der nullstellen berechnung vor? etwa das newton-verfahren?

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Ja genau das würde ich mit dem Newtonverfahern lösen

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ich müsste dasdann 3xmal machen bzw.1 mal wäre dann die 7 als startwert geeignet?

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Nein ich würde 4 und 10 als Startwerte nehmen. Wie gesagt in 7 ist die Steigung 0. Und du siehst ja dass der Graph ungefähr bei 4 und 10 am stärksten steigt.

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aber das wäre doch nicht auf den hochpunkt bezogen, ich verstehe das immer noch nicht so ganz bzgl. diese x=4 u. x=10

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~plot~ 163/9900*x^{4}-1118/2475*x^{3}+3,75*x^{2}-8,65x+40/3;652/9900*x^3 - 3354/2475*x^2+30/4x-173/20;163/825x^2-2236/825x+30/4;[[-5|16|-9|30]] ~plot~

Hier der rote graph ist die erste,

der grüne die zweite ABleitung.

Für die Wendepunkte musst du die Nullstellen der zweiten ABleitung bestimmen.

Diese sind ungefähr bei 4 und 10 ( siehe grüner Graph)

Das sind geeignete Startwerte fürs Newtonverfahren

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die aufgabe lautet: durchschnittstemperatur mitte juli am höchsten belegen d.h.  doch hochpunkt ausrechnen und das ist erste Ableitung = 0

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Achso du meinst jetzt noch mal zur Aufgabe a.). Klar da musst du beim Newtonverfahren Startwert 7  nehmen.

Sorry dachte grade du meinst Sartwerte für die Wendepunkte, wobei du da natürlich die pq-Formel anwenden kannst

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ich habe das vorhin versucht also

7- f(7)/ f'(7)=... usw.. aber da kommen komische Werte raus. - 516..12 oder so was in der Art habe das dann fortgeführt, aber nichts geht in Richtung 7,...

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Für die Hochpunkte der Funktion musst du ja dann
7- f '(7)/f ''(7)rechnen. hast du das gemacht oder hast du:
7-f(7)/(f '(7)gerechnet?ich komme auf ca. 7,021

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Was hast du denn für x1 raus? Habe -19.3625. Stimmt das also beim n.verfahren?

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Nein. Du musst doch auf ca. 7 kommen. Hast du denn nicht meinen vorigen Kommentar gesehen?

Hast du  7- f '(7)/f ''(7   oder 7-f(7)/(f '(7)gerechnet ?

Natürlich musst du mit 7- f '(7)/f ''(7  rechnen und kommst dann für x auf ca. 7,021

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Ja, habe mir 7-f'(7)/f''(7) gerechnet. Aber mein erster wert den ich erhalte ist -19.3625. Habe es noch nicht vollständig ausgerechnet. Aber wolltr fragen, ob der erste wert stimmt.

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Nein du musst dem Hochpunkt ja immer näher kommen:

7- (652/9900·7³-3354/2475·7²+30/4*7-173/20)/(163/825*7²-2236/825*7+30/4)

ergibt bei mir ca. 7,0207

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Ich sehe gerade, dass ich einen Tippfehler hatte. Aber danke dir nochmals.

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Haha das ist mir vorhin auch passiert. Das geht aber auch schnell bei solchen Funktionen mit so umständlichen Brüchen. Dann hast du es ja jetzt auch richtig! Perfekt!

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So, ist eben Mathe. Ein Fehler und man kann die komplette Rechnung über Bord werfen.

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Naja es war ja nur ein Tippfehler. Dann ist das nicht so tragisch ;) Hauptsache du hast jetzt dazugelernt :)

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Ich habe da noch eine letzte Frage: bei der b) wenn da steht bestimmen sie rechnerisch, wann auf der Nkugel die höchste Durchschnittstemperatur herrscht, da ist ja nicht angegeben wie bei der a ) das es im juli am höchsten ist. Soll ich bei der b) das dann einfach nochmal vom graphen ablesen weil ich kann ja nicht einfach 7 als startwert nehmen ohne zu wissen, dass es im juli am wärmsten ist?

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Ja genau. So würde ich das dann auch machen. Ist ja imgrunde die gleiche aufgabe:)

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Habe bei den Wendepunkt der Funktion die x-Werte 8.595 und 5.1228 raus. Stimmt das?

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Nein das ist leider flasch. Wahrscheinlich wieder n Tippfehler ;) . Wende pq-Formel auf 163/825x²-2236/825x+30/4     an

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Habe ich gemacht. Moment ich schaue mal wieder nach :/.

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So habe drübergeschaut, finde aber nichts. Pq Formel auf x^2- 2236/163 x + 12375/326 angewandt.

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Ich komme dafür auf x1= 3,84

und x2=9,87

Du auch?

Vielleicht nochmal nachrechnen?

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x1= 3,84487
x2= 9,87292

haut jz hin, wieder ein dummer Fehler. Ich habe das normal ausgerechnet da kam was anderes raus, aber jz eingetippt, kommen diese ergebnisse raus. ich habe aber davor die brüche in zahlen umgewandelt also als ich es ausgerechnet habe. kann es da abweichungen geben?

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Ja kann es. In diesem fall sind deine Ergebnisse aber noch sehr genau.  Super du hast die Aufgabe richtig ;)

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also es existieren zwei wendepunkte u. ich muss gucken durch das einsetzen in f' welche steigung höher ist , in welchem monat entweder oktober oder april? ich tippe mal auf oktober :)

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Genau dann die x-Werte der Wendepunkte in die erste Ableitung. Es wird einmal eine positive und negative Steigung herauskommen

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ich habe mich geirrt, bei april ist die steigung positiv u. oktober negativ und somit ist die änderungsrate der durchschnittstemperatur auch in diesem monat am größten, oder? m=3,9

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Es wird ja nicht genau nach der größten Temperaturzu- oder abnahme gefragt, sondern nach der größten Änderung. Die kann sowohl negativ als auch positiv sein. Was hast du denn für Werte für die Steigung heraus?

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Oktober: (aufgerundet: m:-3,3)

April : (aufgerundet: m: 3,9)

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Okay hier betrachtest du nur die Werte, also nicht die Vorzeichen. Wie gesagt: die größte Änderung kann auch negativer Art sein.

Hier ist aber 3,9 der höhere Wert weshalb sich die Durchschnittstemperatur im Frühling am stärksten ändert.

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Durchschnittstemperatur auf der Nordhalkugel:

a) t(x)= 1639900x4-1118/2475 x3 + 3 3/4 x2 - 8 13/20 x + 13 1/3

x=Monat x1= Mitte des Monat Januar, x12= Mitte des Monats Dezember
t(x) = Durchschnittstemperatur

a) auf der südhalbkugel ist die durchschnitttemperatur mitte januar mit 17 grad maximal und mitte august mit 10 grad minimal. ein professor möchte eine ganzrationale funktion f finden die die durchschnittstemperatur auf der südhalbkugel in abhängigkeit vom monat x beschreibt und die genannten eigenschaften erfüllt.

welche der gegebenen eingeschaften muss die funktion f erfüllen?

a) f(8)=10 b) f(10)= 8 c) (8)=0 d) f'(10)=0 e) f'(8)=10 f) f'(8)=0

ich würde b) und e) nehmen. würde das gehen? b, aufgrund y=10 grad, x=8.monat august und e) wieder dasselbe (?)

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wie errechne ich mir denn eigentlich die "neue" Funktion?

Answer 2

> x1= Mitte des Monat Januar, x2= Mitte des Monats Dezember

Hä? Da gibt's garkein x1 und kein x2 in deiner Aufgabenstellung. Verschweigst du uns irgendetwas?

>muss man hier nicht den hochpunkt ausrechnen

Man muss den Hochpunkt ausrechnen.

> habe es nicht ausgerechnet

Du sollst es aber.

> und der y wert gibt dann die maximale Durchschnitsstemperatur an

Ja.

> ist doch praktisch dasselbe wie a)

Ja.

Comments

x12= Mitte des Monats Dezember d.h. x2= Februar etc..

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x 12 = Mitte des Monats Dezember*