Maximum anhand von budget berechnen?

Question

Julia ist auf dem Markt und möchte Obst kaufen. Sie will genau gleich viele Birnen und Pflaumen kaufen. Außerdem braucht sie doppelt so viele Kirschen wie Äpfel. Der Nutzen, den Sie durch den Verzehr des Obsts hat, lässt sich durch die folgende Funktion beschreiben:

U(A,B,K,P)=A^{2}+15B+9K+13P
Ein Apfel kostet 2 Euro, eine Birne 3 Euro und Kirschen und Pflaumen je 1 Euro. Wie sieht der Warenkorb von Julia aus, wenn sie 100 Euro ausgeben kann und ihren Nutzen maximiert?

Was muss man hier machen ??? :O

Comments

Dem Text entnehme ich die Nebenbedingungen \(P=B\) und \(K=2A\) sowie die Budgetrestriktion \(2A+3B+K+P=100\). Kommst du damit weiter?

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Nein nicht wirklich...

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Setze die Nebenbedingungen mal in die Nutzenfunktion und die Budgetrestriktion (bei der es natürlich \(\le\) statt \(=\) heißen muss) ein.

Answer 1

2*A + 3 * B + K + P = 100
U ( A,B,K,P) = A²+15B+9K+13P 

P = B

2*A + 3 * B + K + B = 100
U ( A,B,K,P) = A²+15B+9K+13B 

2*A + 4 * B + K = 100
U (  A,B,K ) = A²+28B+9K

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K = 2 * A

2*A + 4 * B + 2 * A  = 100
U (  A,B ) = A² + 28 * B +9*2*A

4 * A - 4 * B = 100
A + B = 25
B = 25 - A

U (  A,B ) = A² + 28 * B + 18 * A
und
B = 25 - A

U (  A  ) = A² + 28 * ( 25 - A )  + 18 * A
U ( A ) = A^2 + 700 - 28 * A + 18 * A
U ( A ) = A^2 - 10 * A + 700

1.Ableitung
U ´ ( A ) = 2 * A - 10
Extremwert
2 * A - 10 = 0
A = 5

B = 20 usw...