So eine Gewichtsfunktion ist wohl leichter zu verstehen bei diskreten Werten:
wenn du etwa bei einem Test 5 Aufgaben hast, für die du jeweils 0 bis 10 Punkte
bekommen kannst, dann sieht ja das Ergebnis vielleicht so aus
6 4 8 9 3 Das wäre n dann 30 von 50 Punkten.
nun meint aber der Aufgabensteller, dass die 60% erbrachte Leistung, das nicht
richtig widerspiegeln, weil die 3. und 4. Aufgabe doch sehr schwierig und die ersten beiden
recht einfach gewesen seien. Er schlägt eine Gewichtung vor:
Die ersten beiden zählen nur halb soviel, dafür die 3. und 4. Doppelt. mit der
Gewichtung ist die Punktsumme dann
0,5 * 6 + 0,5 * 4 + 2* 8 * 2*9 + 3 = 42 von dann ja 60 erreichbaren Punkten
und das wären dann 70% und das Testergebnis erscheint besser.
Bei deiner Aufgabe liefret sozusagen die Funktion f die Rohpunkte und
zu jedem x aus dem Intervall liefert w(x) ein "Gewicht". Und der Punktesumme
entspricht dann das Integral.
Ganz einsichtig wird der Zusammenhang mit dem Mittelwertsatz, wenn du als
Gewicht konstant eine 1 denkst, dann hast du über dem Intervall [ a;b]
∫f(x)w(x)dx= ∫f(x)dx = f(ξ) ∫1dx = f(ξ) ( b-a)
also f(ξ) = 1 / ( b-a) * ∫f(x)dx und f(ξ) ist der Integrale Mittelwert.
Kurz heißt das also: Auch bei Verwendung einer Gewichtung macht der
integrale Mittelwert Sinn, nur hat man statt des (b-a) jetzt das Integral über w
als Divisor.
