Betrachten Sie die Differentialgleichung $$ y'={ e }^{ y }cos(x),\quad \left( x,y \right) \in U:={ ℝ }^{ 2 }. $$

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1) Erfüllt die Differentialgleichung die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf?


2) Bestimmen Sie für jedes \( { y }_{ 0 }\in ℝ \) alle Lösungen der Anfangswertaufgabe $$ y'={ e }^{ y }cos(x),\quad y(0)={ y }_{ 0 }. $$


3) Geben Sie sämtliche Werte \( { y }_{ 0 }  \) an, für welche die Anfangswertaufgabe eine auf \(ℝ\) definierte Lösung besitzt.


4) Geben Sie eine Anfangsbedingung \(y({ x }_{ 0 }) = { y }_{ 0 }\) an, die keine in \(x = 0 \) erklärte Lösung besitzt.

Gefragt 25 Mai 2016 von Sam94

1 Antwort

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Hallo,

Zu 2)

y ' =  e^y *cos(x) ->Trennung der Variablen

dy/dx= e^y *cos(x) 

dy/(e^y) = cos(x)*dx

-  e^(-y)= sin(x) +C_1 |*(-1)

  e^(-y)= -sin(x) -C_1

- y= ln | -sin(x) -C_1|

 y= - ln | -sin(x) -C_1|

die Anfangsbedingung  eingesetzt :

C:_1 = 1/(e^((y_0))

------>

y= -ln | -sin(x)  - 1/(e^(y_0))|

Hinweis: es soll y_ 0 heissen.

Beantwortet 25 Mai 2016 von Grosserloewe Experte LII

wie sieht es bei der 3) aus?

Vielen Dank schonmal. Hast du oder jemand einen Tipp für die 3)?

Hallo, hast du die Lösung erfahren? Ich wäre dir echt dankbar, wenn ich die Lösung zur 3) erhalten würde.

..........................

3)

give a \({ y }_{ 0 }∈ℝ\) s.t. the solution of \( y'={ e }^{ y }cos(x), \) \(y(0) = y0 \) is Def. on \(ℝ\). $$∀{ y }_{ 0 }<0$$ Leider hat dieser Tutor wohl nicht mehr geschrieben. Vielleicht hat noch jemand eine bessere Lösung.

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