Integralrechnung (4x-1)/(x^2+4x+20)

Question

könnte mir jemand das folgende Integral lösen?

$$ \frac {(4x-1)}{(x^2+4x+20)} $$

Egal was ich probiere es klappt nicht.

:)

Answer 1

Ich lasse das mal von meinem Freund Wolfram beantworten. Wolfram kann auch dein Freund werden:

Comments

Hallo Mathecoach

>  Wolfram kann auch dein Freund werden

10€ im Monat für "Go pro" sind mir ehrlich gesagt zu teuer und sonst geht das mit den Lösungswegen bei der Integration ja wohl nicht?

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Zum Glück bietet die Mobile Version von Wolframalpha auch diese Lösungsmglichkeiten.

Answer 2

Hi,

Du kannst mit ∫f'/f = ln(f) arbeiten, sprich den Bruch splitten, so dass ein Summand auf diese Weise gelöst werden kann. den zweiten Summanden dann auf die Form bringen, dass man den arctan erhält.

$$\int \frac{4x-1}{x^2+4x+20} \,dx= \int \frac{2(2x+4)}{x^2+4x+20}\,dx + \int \frac{-9}{x^2+4x+20} \, dx$$

Für den ersten Summanden kann man nun direkt das Integral angeben \(2\ln(x^2+4x+20)\). Für den zweiten Summanden muss man weiter umformen. Ziel ist es den Nenner in der Form x^2 + a^2 vorliegen zu haben, dann kann man eine Tabelle nutzen.

$$-9\int \frac{1}{x^2+4x+20} \,dx= -9 \int \frac{1}{(x+2)^2+16} = -\frac94\cdot\arctan\left(\frac{x+2}{4}\right) + c$$

Insgesamt also:

$$\to 2\ln(x^2+4x+20) -\frac94\cdot\arctan\left(\frac{x+2}{4}\right) + c$$

Grüße

Answer 3

Integralrechnung (4x-1)/(x²+4x+20)

Dieses Integral mußt Du in 2 Teilintegrale aufspalten:

1. Integral : so umformen , das der Zähler die Ableitung des Nenners ist

-------->da gibt es dann ein spezielles Integrationsgesetz

2. Integral : Lösen über die quadratische Ergänzung.

Answer 4

\(\frac{4x-1}{x^2+4x+20}\) = \(\frac{4·(x+2) - 9}{x^2+ 4x + 20}\) = 4·\(\frac{x+2}{x^2+4x+20}\) - 9·\(\frac{1}{x^2+4x+20}\) 

∫ \(\frac{x+2}{x^2+4x+20}\) dx   mit Substitution u = x²+4x+20 (oder direktes Hinsehen: u' / u bilden)

∫ \(\frac{1}{x^2+4x+20}\) dx  = ∫  \(\frac{1}{(x+2)^2+16}\) dx   mit Substitution  v = \(\frac{x+2}{4}\) 

...

→ ∫ \(\frac{4x-1}{x^2+4x+20}\) dx = 2 · ln(|x²+4x+20|) - \(\frac{9}{4}\) · arctan((x+2)/4) + c

[editiert nach Kommentar]

Gruß Wolfgang

Comments

Huhu Wolfgang, beim allerletzten Bruch scheint Dir noch der Nenner reingerutscht zu sein ;).

Grüße

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wie kommt man auf x+2/4 ?

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Hallo Unknown, danke für den Hinweis. Kampf mit dem Formeleditor :-)

Werde es korrigieren.

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Hallo Fach...,

\(\frac{1}{(x+2)^2+16}\) = \(\frac{1}{16·([(x+2)/4]^2+1)}\) = 1/16·\(\frac{1}{v^2+1}\) 

(läuft dann - nach "Verrechnung" von dx und dv - auf die Stammfunktion arctan(v) von 1/(v²+1) hinaus)