Hilfe bei der Aufgabe zu Differentialrechung und Potenzreihenentwicklung

Question

ich verzweifel gerade am Aufgabenteil b und ich weiß nicht wie ich die Anfangsbedingungen einbeziehen soll.

und bei weiß ich auch nicht wie ich das machen soll. Um hilfe wäre ich dankbar :)

Comments

der zweite Teil soll heißen, dass ich bei c keine ahnung habe sry;)

Answer 1

a) e^x=∑_k=0^∞ x^k/k!

b) Du hast gegeben y(x)=∑_j=0^∞ a_jx^j , das bedeutet, die Entwicklungsstelle ist x=0

Du kannst dir Reihe auch ausschreiben:

y(x)=a₀+a₁*x+a₂*x^2/2+.....

Aus der Anfangsbedingung y(0)=0 erhält man a₀=0

jetzt die Potenzreihe einmal ableiten:

y'(x)=a₁+a₂x+.....

--> y'(0)=-1 --> a₁=-1

c) die DGL lautet: y''(x)-y'(x)+e^{x}*y(x)=0

setze x=0 dort ein 

man erhält :y''(0)-1=0 --> y''(0)=1 -->a₂=1

zur Bestimmung des nächsten Koeffizienten, leite die DGL einmal ab:

-->y'''(x)-y''(x)+e^{x}*y(x)+e^{x}*y'(x)=0

wieder x=0 setzen :

y'''(0)-1+1=0 --> y'''(0)=0=a₃

also müssen wir nochmal ableiten:

y''''(x)-y'''(x)+e^{x}*y''(x)+2*e^x*y'(x)+e^x*y(x)=0

---> y''''(0)-0+1-2+0=0

---> y''''(0)=1=a₄