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ich hoffe jemand kann mir bei folgender Aufgabe helfen:


"Die Fläche F sei durch den Graphen der Funktion f(x) = a ln (x/ b) (mit a, b > 0) und die x-Achse für b ≤ x ≤ c begrenzt. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation von F um die x-Achse hervorgeht."

Mein bisheriger Ansatz:

V = π*  Integral von b bis c von (a*ln(x/b))^2 dx.

Ich würde gerne wissen, ob das richtig ist. Und wenn es richtig sein sollte, wie ich jetzt weiter machen kann.

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∫(b bis c) (pi·(a·LN(x/b))^2) dx

Bildet man die Stammfunktion und setzt die Grenzen ein erhält man

= pi·a^2·(c·LN(c/b)^2 - 2·c·LN(c/b) + 2·(c - b))

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Könntest du mir vielleicht Schrittweise sagen, wie du auf die Stammfunktion gekommen bist?

LN(..) macht man oft mit der Produktintegration

∫ a·LN(x/b) dx = a·x·LN(x/b) - ∫ a·x·1/(x/b)·1/b dx

∫ a·LN(x/b) dx = a·x·LN(x/b) - ∫ a dx

∫ a·LN(x/b) dx = a·x·LN(x/b) - a·x + C

Fehlt da aber nicht ein hoch 2 bei der Integration?

Eigentlich wollte ich nicht deine Hausaufgaben erledigen sondern dir nur sagen wie man LN-Funktionen integriert. Du solltest das jetzt mal selber probieren. Das Ergebnis steht ja schon lange oben dort als Vergleich.

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∫(b bis c) (pi·(a·LN(x/b))2) dx = π • a2/b2  bc ln(x)2 dx

∫ ln(x)2 dx = ∫ ln(x) • ln(x) dx berechnest du mit partieller Integration:

∫ u'•v = u•v - ∫ uv'

u' = ln(x) → u = x•ln(x) - x ,  

v = ln(x) → v' = 1/x

...

→ Volumen =   π· a2·x·(LN(x)2 - 2·LN(x) + 2) / b2

Gruß Wolfgang 

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Danke für die Antwort. Aber eine Frage hätte ich noch:

Ist die Ableitung von ln(x)

nicht x*ln(x)-x?

x ln(x) - x  ist die Stammfunktion von ln(x)  , die Ableitung ist 1/x

Sorry hatte mich vertippt. Ich meinte natürlich Stammfunktion. Denn soweit ich es in Erinnerung habe, war von ln(x) die Stammfunktion x*ln(x)-x und nicht  x*ln(x)-ln(x), oder ist das falsch?

Du hast recht, so wie es in meinem Kommentar steht ist es richtig. In der Antwort hatte ich mich vertan. Habe es korrigiert.

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