Volumen eines rotierenden Körpers um die X-Achse berechnen

Question

ich hoffe jemand kann mir bei folgender Aufgabe helfen:

"Die Fläche F sei durch den Graphen der Funktion f(x) = a ln (x/ b) (mit a, b > 0) und die x-Achse für b ≤ x ≤ c begrenzt. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation von F um die x-Achse hervorgeht."

Mein bisheriger Ansatz:

V = π*  Integral von b bis c von (a*ln(x/b))^2 dx.

Ich würde gerne wissen, ob das richtig ist. Und wenn es richtig sein sollte, wie ich jetzt weiter machen kann.

Answer 1

∫(b bis c) (pi·(a·LN(x/b))^2) dx

Bildet man die Stammfunktion und setzt die Grenzen ein erhält man

= pi·a^2·(c·LN(c/b)^2 - 2·c·LN(c/b) + 2·(c - b))

Comments

Könntest du mir vielleicht Schrittweise sagen, wie du auf die Stammfunktion gekommen bist?

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LN(..) macht man oft mit der Produktintegration

∫ a·LN(x/b) dx = a·x·LN(x/b) - ∫ a·x·1/(x/b)·1/b dx

∫ a·LN(x/b) dx = a·x·LN(x/b) - ∫ a dx

∫ a·LN(x/b) dx = a·x·LN(x/b) - a·x + C

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Fehlt da aber nicht ein hoch 2 bei der Integration?

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Eigentlich wollte ich nicht deine Hausaufgaben erledigen sondern dir nur sagen wie man LN-Funktionen integriert. Du solltest das jetzt mal selber probieren. Das Ergebnis steht ja schon lange oben dort als Vergleich.

Answer 2

∫(b bis c) (pi·(a·LN(x/b))²) dx = π • a²/b²  _b∫^c ln(x)² dx

∫ ln(x)² dx = ∫ ln(x) • ln(x) dx berechnest du mit partieller Integration:

∫ u'•v = u•v - ∫ uv'

u' = ln(x) → u = x•ln(x) - x ,  

v = ln(x) → v' = 1/x

...

→ Volumen =   π· a²·x·(LN(x)² - 2·LN(x) + 2) / b²

Gruß Wolfgang 

Comments

Danke für die Antwort. Aber eine Frage hätte ich noch:

Ist die Ableitung von ln(x)

nicht x*ln(x)-x?

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x ln(x) - x  ist die Stammfunktion von ln(x)  , die Ableitung ist 1/x

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Sorry hatte mich vertippt. Ich meinte natürlich Stammfunktion. Denn soweit ich es in Erinnerung habe, war von ln(x) die Stammfunktion x*ln(x)-x und nicht  x*ln(x)-ln(x), oder ist das falsch?

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Du hast recht, so wie es in meinem Kommentar steht ist es richtig. In der Antwort hatte ich mich vertan. Habe es korrigiert.