Grenzwert der Funktion f(x) = 2*ex/(7*ex+3*x) für x gegen unendlich?

Question

Ich habe die Funktion $$f(x) = 2*e^x/(7*e^x+3*x)$$ und will den Grenzwert für unendlich bestimmen.

Eine Regel besagt ja, dass e^x gegen unendlich ist unendlich.

Ich bekomme nur unendlich durch unendlich heraus, wende l'hopital an, was aber nichts bringt, da ich ständig unendlich durch unendlich erhalten. Das Ergebnis soll sein 2/7.

Warum ist das so? Was beachte ich nicht oder welche Regel habe ich nicht beachtet.

Answer 1

lim x −> ∞ [ ( 2 * e^x ) / ( 7 * e^x + 3 * x ) ]

geht x gegen unendlich kann man 3 * x wegfallen lassen

( 2 * e^x ) / ( 7 * e^x )  |   e^x kürzen
2 / 7

Answer 2

lim x--> ∞ 2*e^x/(7*e^x+3*x)

im Grenzfall x--> ∞ ist e^x>>3*x, das 3x kann man also vernachlässigen

-->lim x--> ∞ 2*e^x/(7*e^x+3*x)≈lim x--> ∞ 2*e^x/(7*e^x)=2/7

Alternativ kannst du auch  l'hospital 2 mal machen, dann geht unten das 3x auch weg.

Comments

Danke.

Mein Fehler ist es, dass ich 2e² aufteile zu

limes  gegen unendlich 2  mal limes gegen unendlich e^x

Und das Ergibt 2 mal unendlich = unendlich.

Answer 3

f(x) = 2*e^x/(7*e^x+3*x)   | kürze mit e^x

f(x) = 2/(7 +  3*x/e^x)) 

Grenzübergang x -> unendlich

lim_(x -> unendlich)  2/(7 + 3*x/e^x)) = 2/(7 + 0) = 2/7

Grund:  e^x geht viel schneller gegen unendlich als irgendeine Potenz von x , wenn x gegen unendlich geht.