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Ich muss bestimmen für welche x ∈ ℝ die Reihe konvergiert, und den Grenzwert als Funktion von x angeben.

n=0 (n+1) . xn

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Hier hast du einfach zwei einzelne Reihen. Einen Grenzwert bekommen wir, wenn es zu jedem Summanden ein Grenzwert existiert.

∑ (n = 0 bis ∞) ((n + 1) * x^n) = ∑ (n = 0 bis ∞) (x^n) + ∑ (n = 0 bis ∞) (n * x^n) = 1/(1-x) + x/(x-1)^2 = 1/(x - 1)^2

Die Reihen konvergieren für |x| < 1

von 277 k
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berechne den Konvergenzradius hier mit dem Quotientenkriterium:

an=(n+1)

r=lim n-->∞ |an/an+1|=lim n---> ∞(n+1)/(n+2)=1

also konvergiert die Reihe für x∈(-1,1)

die äußeren Grenzen x=-1 und x=1 muss man manuell testen:

x=1 -->∑n=0∞ n+1 --> divergiert da keine Nullfolge

x=-1: ∑n=0∞ (n+1)*(-1)^n divergiert auch, da keine Nullfolge

Berechnung des Grenzwertes:

Integriere die Reihe einmal nach x:

man erhält: ∑n=0x^n also eine geometrische Reihe.

mit q=x

Grenzwert ist dann allgemein: S=1/(1-q)=1/(1-x)

das Endergebnis müssen wir nochmal nach x ableiten, da wir dann die ursprüngliche Summe erhalten:

d/dx(1/(1-x))=1/(1-x)^2

von 30 k

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