Skalarprodukt komplex Polarisationsbeziehung

Question

Das Skalarprodukt sei auf einem komplexen Raum definiert.

Ich soll folgende Beziehung zeigen:

<x,y> = 1/4 ( || x+y||^2 - ||x-y||^2 + i||x+iy||^2 - i||x -iy||^2 ) 

Ich versuche die rechte Seite aufzulösen:

1/4 ( <x+y , x+y>-  <x-y , x-y> + i(<x+iy , x+iy>)  - i (<x-iy , x-iy>)  ) 

Pro Glied schreibe ich es mal in eine neue Zeile, für eine bessere Übersicht:

1/4( < x,x> + <x,y> + <y,x> + < y , y>

- ( <x,x> + <x , -y> + <-y , x> <-y,-y>)

+i(< x,x> + <x,iy> + <iy,x> + < iy , iy>)

- i( <x,x> + <x , -iy> + <-iy , x> <-iy,-iy>

Das eine oder andere fällt direkt weg:

= 1/4 ( <x,y> + <y,x> - <x , -y> - <-y , x> +i( <x,iy> +  <iy,x> - <x , -iy> - <-iy , x>) )

Jetzt ist das komplexe Skalarprodukt   semilinear im ersten Argument und linear im Zweiten:

1/4 (  2*<x,y> + 2*<y,x> + i ( 2* <x,iy> + 2<iy,x>)

= 1/4 (  2*<x,y> + 2*<y,x> + i ( 2* i<x,y>  -2i<y,x>)
= 1/4 ( 2< x,y> + 2*<y,x> - 2 <x,y> +2 <y,x> )
= 1/4 ( 4<y,x> )  = <y,x>

Irgendwo ist da jetzt ein Fehler drin, finde ihn aber nicht. Kann mal wer drüber schauen?

Answer 1

Halllo,

deine Berechnungen sind meines Erachtens alle richtig. Das Problem ist, dass die Polarisationsformel für semilinear im ersten und linear im zweiten Argument anders lautet:

<x,y> = 1/4 ( || x+y||² - ||x-y||² + i||x-iy||² - i||x +iy||² )  

bzw.

<x,y>= 1/4 ( || x+y||² - ||x-y||² - i||x+iy||² + i||x -iy||² ) 

Das ist bei dir vertauscht, deshalb sind am Ende auch x und y vertauscht

Comments

Oh,danke. Hab nochmal ins Skript geschaut und wir hatten es uns auch als linear im 1. und semilinear im 2. .

Dann sollte das soweit auch passen, danke :)