Prüfen Sie ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt

Question

Gegeben sind die drei Punkte A (0|3|5), B (0|9|5), C (0|6|8) .Prüfen Sie rechnerisch ob die Punkte ABC ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.

Die Vektoren sind dann:

AB = (0|6|0)   BC= (0|-3|3)   CA= (0|-3|-3)

Jetzt muss ich doch erstmal zeigen, dass die 3 Vektoren überhaupt ein Dreieck bilden.

Wie mache ich das ?

So:

Also AB + BC - CA = 0 , oder AB - BC + CA = 0  ?

Ich bekomme hier keine null raus, heißt das dann, ich brauche hier gar nicht mehr prüfen ob das Dreieck rechtwinklig ist, weil es sich gar nicht um ein Dreieck handeln kann ?

Danke schonmal

Answer 1

Hi,

aus drei (verschiedenen) Punkten kann man immer ein Dreieck bilden. Addierst Du alle drei Vektoren erhältst Du ja auch 0. Schau nochmals nach :).

Wie gesagt, das ist aber ohnehin irrelevant. Was Du untersuchen musst, ist, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, also in einem Punkt ein 90°-Winkel vorliegt. Das überprüfe mittels Skalarprodukt.

BC*CA = 0*0 + (-3)*(-3) + 3*(-3) = 9 - 9 = 0

Das Skalarprodukt im Punkt C ist 0, folglich liegt dort ein rechter Winkel vor.

Grüße

Comments

https://www.mathelounge.de/117915/zeigen-dass-vektoren-und-ein-rechtwinkliges-dreieck-bilden

Achso ist ja logisch, ich bin ein bisschen irritiert, weil ich hier bei einer ähnlichen Frage als "Beste Antwort" gefunden habe:

Die Frage dort war:

"Zeigen Sie, dass die drei Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

a ( 1 | 4 | -2)

b ( -2 | 2 | 3)

c (-1 | 6 | 1)"

Beste Antwort war:

"Du musst hier zusätzlich noch zeigen, dass die 3 Vektoren überhaupt ein Dreieck bilden.

Die Summe der Vektoren entlang von einen geschlossenen Streckenzug muss den Nullvektor geben.

Das ist hier ok, weil a + b - c = 0 gilt."

Also wenn ich nur drei Vektoren habe dann muss ich diese Prüfung (a + b - c = 0) machen oder?

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So ist es:

Da sind nicht Punkte gegeben, sondern Vektoren. Deshalb muss man vorgehen wie gezeigt. Zudem ist die "Beste Antwort" wohl nach dem anderen Post geschrieben worden. Es muss also zum einen mit dem Skalarprodukt überprüft werden, ob zwei Vektoren rechtwinklig aufeinander stehen und ob es sich überhaupt um ein Dreieck handelt. Bei Dir fällt der letzte Schritt aus :).

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Dann nehmen wir mal an ich hätte keine Punkte vorgegeben, sondern es hieße nur:

Zeigen Sie, dass die drei Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

AB = (0|6|0)   BC= (0|-3|3)   CA= (0|-3|-3)

Dann müsste ich doch erstmal überprüfen ob diese drei Vektoren ein Dreieck bilden:

Also ob a + b - c = 0, ist ja das Gleiche wie AB+BC -CA =0

Nur bekomme ich da nicht null raus:

AB+BC = (0|3|3)

-CA = (0|3|3) -(0|-3|-3) = (0|6|6)

Wo liegt mein Fehler ?

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Es muss nicht notgedrungen a+b-c = 0 gelten. Es kann auch a+b+c = 0 sein, wie hier der Fall. Was auf die Orientierung Deiner Vektoren ankommt :).

Musst Dir immer der Orientierung der Vektoren bewusst sein, oder mittels Vorfaktor alle Möglichkeiten offen lassen^^.

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Ok!
Ich rechne das mal nach ;)

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Ok, dann ist es nur wichtig, dass eines der 3 Möglichkeiten Null wird:

1.AB + BC - CA =0,

2.AB - BC + CA =0,

3.AB + BC + CA =0

Indem Fall ist es Nr 3

AB+BC = (0|3|3)

+CA = (0|3|3) + (0|-3|-3) = (0|0|0)

Dann Erlaubnis zu Schritt 2:
Jetzt schaue ich einfach ob: AB x BC= 0 und CA x AB = 0

Ist eines der beiden Ergebnisse Null, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

So richtig verstanden ?

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Fast.

Es gibt noch mehr Möglichkeiten. Es kann auch AB negativ sein ;).

Oft rechnet man:

xAB + yBC + zCA =0 mit x,y,z entweder -1 oder 1

Dann zeilenweise probieren/ausrechnen für welche x, y und z die drei Zeilen erfüllt sind.

Und es gibt auch 3 Punkte (nicht nur zwei), eventuell also auch BC*AC probieren ;).

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Ok, danke, dann hoffe ich mal, dass ich das in der Prüfung schnell rausbekomme:)

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Meist sieht man es und man muss kein Gleichungssystem aufstellen^^. Im Bedarfsfall aber darauf zurückgreifen.

Viel Erfolg und gerne :).

Answer 2

Was sollen denn drei Punkte im Raum sonst machen, als ein Dreieck zu bilden?

Bestenfalls eine Gerade oder schlimmstenfalls einen Punkt, fall die Vektoren nicht linear unabhängig voneinander sind.

Die Rechtwinkligkeit bekommt man über das Skalarprodukt der Differenzen übrigens.

Comments

Und warum muss man dann hier

https://www.mathelounge.de/117915/zeigen-dass-vektoren-und-ein-rechtwinkliges-dreieck-bilden

noch prüfen ob die drei Vektoren überhaupt ein Dreieck bilden ?

"Zeigen Sie, dass die drei Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

a ( 1 | 4 | -2)

b ( -2 | 2 | 3)

c (-1 | 6 | 1)"

Beste Antwort war:

"Du musst hier zusätzlich noch zeigen, dass die 3 Vektoren überhaupt ein Dreieck bilden.

Die Summe der Vektoren entlang von einen geschlossenen Streckenzug muss den Nullvektor geben.

Das ist hier ok, weil a + b - c = 0 gilt."

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Und warum muss man dann hier 

https://www.mathelounge.de/117915/zeigen-dass-vektoren-und-ein-rechtwinkliges-dreieck-bilden 

noch prüfen ob die drei Vektoren überhaupt ein Dreieck bilden ? 

Dort sind nicht die Ecken des Dreiecks gegeben sondern einfach 3 Vektoren, die theoretische beliebig im Raum liegen könnten. Wenn einer länger ist als die beiden andern zusammen, können sie z.B. nicht die Kanten eines Dreiecks bilden.