Trigometrische Funktion Hilfe

Question

Die Tiefe des Meeres zwischen dem Festland und einer vorgelagerten Insel hängt von der Zeit ab und kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)2+1.7sin(pi/6*t) beschrieben werden. (t in Stunden  nach Mitternacht: f(t) in Meter). In welchem Zeitintervall kann mann man zur Insel laufen, wenn man durch 40 cm tiefes Wasser laufen möchte?

 

Kann mir bitte jemand helfen die Aufgabe zu lösen bzw. den Lösungsweg aufzeigen? 

Answer 1

Wasserhöhe ≤ 0,4  [Meter]

f(t) =  2 +1.7 * sin( π/6 * t ) ≤ 0.4      [#]

1.7 * sin( π/6 • t ) ≤ -1.6

 sin( π/6 • t ) ≤ - 0,94118   |  arcsin ...

Dabei muss die Doppeldeutigkeit der Sinusfunktion innerhalb einer Periode beachtet werden:

π/6 • t ≈ - 1,2261 + k • 2π   oder   π/6 • t ≈ π - (-1,2261) + k • 2π     | : π/6

 t ≈ -  2,342  + k • 12   oder  t ≈ 9.658 + k • 12     mit k∈ℤ

[ sin(π/6 • t) hat die Periode  2π / (π/6) = 12 ]

Für die Lösung sind die t-Werte aus dem "Uhrzeitintervall"  [0 ; 24] von Interesse.

Einsetzen von k=1 und k=2  bzw. k=0 und k=1 und von Werten aus den Zwischenintervallen in [#]  zum Überprüfen des  ≤ Zeichens   

→  für das Zeitintervall [0 ; 24]:

L = [8,342 ; 9,658 ] ∪ [ 20,342 ; 21,658 ]

Uhrzeiten zum Laufen: 8:21 - 9:33  und  20:21 - 21:39

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi,

Du musst nichts anderes tun, als die Gleichung 0,4 = 2 + 1,7*sin(π/6*t) zu lösen :).

-1,6 = 1,7*sin(π/6*t)

-1,6/1,7= sin(π/6*t)

arcsin(-1,6/1,7) = π/6*t

t_(1) = arcsin(-1,6/1,7)*6/π ≈ -2,34

Da wir nun an positiven Stunden interessiert sind, addieren wir noch die Periode (welche p = 2π/b und mit b = π/6 -> p = 12)
t_(2) = t_(1) + 12 = 9,66

Wegen sin(t) = -sin(-t) ergibt sich außerdem ein zweiter Wert bei
t_(3) = 8,34

Bei beiden noch die Periode draufklatschen und wir erhalten zudem:
t_(4) = 21,66
t_(5) = 20,34

Man kann die Insel zwischen 8:20 Uhr und 9:40 Uhr betreten, sowie 12h später, also 20:20 Uhr und 21:40 Uhr (beachte, dass die 0,33 ein Drittel einer Stunde entspricht, also 20 min :)).

Ein Schaubild zur Veranschaulichung:
~plot~ 2+1,7*sin(pi/6*x);0,4; [[ -3 | 26 | -2 | 5 ]] ~plot~

Grüße

Comments

Rechnerisch (ohne Graph) muss man wohl durch Einsetzen in die Intervalle noch überprüfen,

wann das ≤ - Zeichen erfüllt ist, sonst kann man es ja gleich grafisch lösen.