Singularitäten und das komplexe Wegintegral berechnen

Question

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Sei \( f(z) := \frac{1+z}{1-e^z} \,e^\frac{1}{z-4}\) .

Wie bestimme und klassifiziere ich alle Singularitäten von \(f(z)\)?

Wie berechne ich \(\int_\gamma f(z) dz\) für den Weg \(\gamma : [0,2] \to \mathbb{C} , t \to e^{2\pi it}\)?

Bitte eine ausführliche Erklärung mit einzelnen Schritten.

Danke

Answer 1

Die Singularitäten von f sind die folgende: $$1-e^z=0\Rightarrow z=0 \\ z-4=0 \Rightarrow z=4$$

Answer 2

(1+z)/(1-e^{z})  hat einen Pol 1.ter Ordnung bei z=0

e^{1/[z-4]} hat eine wesentliche Singularität bei z=4.

Zur Berechnung des Wegintegrals bietet sich der Residuensatz an.