Ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe: Zeige, dass F ⊧ G gdw. ¬G ⊧ ¬F
2 Anläufe habe ich gestartet, mit 2 unterschiedlichen Ergebnissen. Einmal stimmt die Aussage, einmal nicht.
Anlauf 1
Gelte F ⊧ G und A ist eine Belegung die F zu 1 auswertet, also A(F) = 1, dann muss G wegen F ⊧ G auch 1 sein. Wenn also die Belegung für F und G 1 sind, die Belegungen für ¬F und ¬G durch die Semantik der Negation 0. Wenn dann gilt, dass ¬G ⊧ ¬F, so stimmt dies.
Anlauf 2
1. Richtung
Es gelte F ⊧ G und ich zeige ¬G ⊧ ¬F. Sei A Modell für F. Angenommen A ist kein Modell für G, dann ist es ein Modell für ¬G. Durch ¬G ⊧ ¬F auch A Modell für ¬F, was ein Widerspruch dazu ist, dass A Modell für F ist. Diese Annahme ist also falsch und A ist Modell von G.
2. Richtung
Es gelte ¬G ⊧ ¬F und ich zeige F ⊧ G. Sei A ein Modell für ¬G. Angenommen A ist kein Modell für ¬F. Durch ¬G ⊧ ¬F ist A aber auch Modell für ¬F, was im Widerspruch dazu steht, dass A kein Modell für ¬F ist - wie am Anfang angenommen. Diese Annahme ist also ebenso falsch und A ist Modell für ¬F.
Frage / Kommentar
Gibt es bei dieser Form von Beweis eine bestimmte Vorgehensweise bzw. ein Muster?
Ich dachte man müsse erst einer Formel ¬G ⊧ ¬F (oder eben der anderen) Werte zuweisen (0 und 1) und die Anwendbarkeit dieser Werte dann auch bei der anderen Formel zeigen.
Dass das nicht funktioniert zeigt mein erster Anlauf.
Ist es eine gängige Vorgehensweise, dass beiden Seiten einer Form unterschiedliche Modelle zuweise…, dass ich also sage: “A ist Modell für F und A ist kein Modell für G […]”
Das ist wahrscheinlich nur ein Weg von vielen?
Was nicht in meinen Kopf rein weill, ist, dass ich nicht jeder atomaren Formel einfach ein Modell (bzw. kein Modell) zuweisen kann. Dieser Vorgang erscheint mir einfach viel zu beliebig. Die Logik hinter dieser Vorgehensweise aber soll sein, dass wenn die Aussage F ⊧ G gdw. ¬G ⊧ ¬F wahr wäre, dass man beliebige Annahmen treffen kann und diese dann immer wahr werden?
Aufgabe als Screenshot:
