Drahtseil einer Materialseilbahn

Question

Das Drahtseil einer Materialseilbahn überbrückt einen Graben von 40 m Breite bei einem Höhenunterschied von 8m. Die Form des Seils kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschrieben werden. Im oberen Aufhängepunkt ist das Seil unter 45° geneigt. Berechne das Maß α des Winkels, den das Seil im unteren Aufhängepunkt A mit der Horizontalen einschließt, sowie den maximalen Durchhang d!

Comments

Grüße, danijel

Answer 1

die Funktion hat die Form  f(x) = ax² + bx + c   mit f '(x) = 2ax + b

f(0) = 0 →  c = 0

f(x_B) = f(40) = 1600·a +  40·b = 8  #

f '(40) = tan(45°) = 1 = 80a + b      →  b = 1 - 80 a

Term von  b  in  # einsetzen:

1600·a +  40 · (1 - 80a) = 8

1600a + 40 - 3200a = 8   → 1600a = 40  →  a = 1/50

→  b = 1 - 80/50 = -30/50 ,  b = -3/5

Also:    f(x) = 1/50 x² - 3/5 x   ,  f'(x) = 1/25 x - 3/5  

Für den Winkel α gilt:   tan(α) | = | f '(0) | = 3/5  

→  α = 30,96°

Die Gerade AB hat die Gleichung  g(x) = 1/5·x  

Damit ergibt sich für den Durchhang  d(x) = g(x) - f(x) = 4/5·x - 1/50·x²

d '(x) =  4/5 - x/25 = 0  → x = 20

Maximaler Durchhang  d(20)  =  8

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ansatz f(x) = ax²+bx+c. c=0 wegen Punkt (0/0). f'(x) = 2ax+b. f(40)=8, f'(40)=1. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 8=1600a+40b 1=80a+b. (sehr unhandliche Zahlen, Abbruch).