Ungleichung mit Wurzel und Bruch richtig lösen: √(2 -(x+3)/(x^2 + x)) < 3.

Question

Hi ich versuche gerade diese Ungleichung zu lösen:

$$ \sqrt { 2-\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x }  } <3 $$

Als erstes habe ich mir die Wurzel angesehen, hier darf nicht negatives drin stehen:

Also:

$$ 2-\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x } \quad >=\quad 0 $$

Hier sei dann auch:

$$ { x }^{ 2 }+x\quad =\quad 0 $$

zu betrachten

x=0, x=-1

Gut, jetzt die eigentliche Ungleichung:

$$ \sqrt { 2-\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x }  } <3 $$

$$ 2-\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x } <9 $$

$$ -x-3<7({ x }^{ 2 }+x) $$

Hier Sollte dann die PQ Formel anwendbar sein:

-7x^2-8x-3<0

--> PQ Liefert keine Lösung

Könnt Ihr mir etwas auf die Sprünge helfen, warum ich hier keine Lösung habe.

WolframAlpha liefert als Lösung [1,inf) (-inf,-3/2]

Die Frage, die sich mir stellt, wie komme ich auf die Werte?

Comments

?? Unformung? 

-7x^2-8x-3<0

0 < 7x^2 + 8x +3 

--> PQ Liefert keine Lösung  

Kannst du deine Umformung noch hinschreiben? 

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Beginne besser mit 

"Gut, jetzt die eigentliche Ungleichung:" und mache das sauber. Danach kannst du dich noch um die Nebenbedingungen kümmern. Da schreibst du Quatsch. Der Nenner darf zum Beispiel gerade nicht 0 sein. 

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Klar:

$$ 2-\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x } <9 $$

$$ -\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x } <7 $$

$$ -\frac { x+3 }{ { x }^{ 2 }+x } <7\quad |*(x^2+x) $$

$$ -x-3<7(x^2+x) $$

$$ -x-3<7{ x }^{ 2 }+7x $$

$$ -x-3<7{ x }^{ 2 }+7x \quad |-7{ x }^{ 2 }-7x $$

$$ -7{ x }^{ 2 }-7x-x-3 \lt 0 \quad | $$

$$ -7{ x }^{ 2 }-8x-3 \lt 0 \quad |:-7 $$

$$ { x }^{ 2 }+8/7x+3/7 \gt 0 \quad |PQ $$

""Gut, jetzt die eigentliche Ungleichung:" und mache das sauber. Danach kannst du dich noch um die Nebenbedingungen kümmern. Da schreibst du Quatsch. Der Nenner darf zum Beispiel gerade nicht 0 sein. "

Richtig! Daher habe ich mir das oben angesehen bei:

Hier sei dann auch:

x2+x=0x2+x=0

zu betrachten

x=0, x=-1

Answer 1

√(2 -(x+3)/(x^2 + x)) < 3         | ^2

Ich weiss nun noch nicht, ob der Plotter mit den Vorzeichen richtig umgeht.

Hier mal der fragliche Plot:

~plot~ sqrt(2 -(x+3)/(x^2 + x)); 3; x=0;x=-1 ~plot~ 

Exakt 3 wird dem Plot zufolge nicht erreicht. Du siehst Bereiche, wo die Wurzel grösser bzw. kleiner als 3 ist. 

Plot scheint zu stimmen. Habe nun mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A(2+-(x%2B3)%2F(x%5E2+%2B+x))+%3C+3 kontrolliert. 

Comments

Genau mein Fehler liegt darin, dass ich mir den DEF Bereich nicht 100% angesehen habe

Erklärung:

2-(x+3)/(x^2+x)>=0

Nenner ist zu betrachten:

x(x+1)=0

somit -1 und 0 // Merken! Ist wichtig!

Aber das gesamte muss noch betrachtet werden:

2-(x+3)/(x^2+x)>=0 |-2

(-x-3)/(x^2+x)>=-2 |*(x^2+x) 

// Hier war auch ein Fehler denn anfangs habe ich nicht -2 gerechnet sondern *(x^2+x) --> (x^2+x)*0 --> 0 aber die 2 darf nicht vergessen werden: 2(x^2+x) 

-x-3>= -2x^2-2x

Etwas Umformen und dann:

x^2+0,5x-1,5 PQ Liefert

-3/2 und 1 // Hier kann man dann noch eine Punktprobe machen!

UND Erst jetzt muss die Eigentliche Aufgabe berechnet werden!

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Gut. Da hast du ja richtig gerechnet.

Du musst somit nur noch Punktproben machen für die fünf Bereiche, die du jetzt hast.

Die 3 rechts gibt keine weiteren Bereichsgrenzen. 

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Genau die Punktprobe liefert dann auch die richtigen Werte. 

Es ist nur sehr schade, dass ich solche "einfachen" Fehler gemacht habe. Das ärgert mich.

Aber schön, dass mir die Fehler dann doch noch selbst aufgefallen sind, dazu habt ihr auch beigetragen, danke!

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Bitte, gern geschehen und Gratulation zu deiner Rechnung! 

Answer 2

Hi,

wenn Du mit dem Nenner mutliplizierst, dann nicht nur den einen Summanden der Dir gefällt, sondern die komplette Seite. Der erste Summand erhält hier also den Faktor (x²+x) :).

Beachte, dass je nach x²+x>0 oder <0 sich das Vorzeichen dreht und demnach eine Fallunterscheidung ansteht. Das mit dem Definitionsbereich ist eine gute Idee, hast Du aber nur angemerkt und nicht abgeschlossen.

Kommst Du mit den Tipps weiter? Sonste hake nach.

Grüße

Comments

Hi Unknown, 

"Der erste Summand erhält hier also den Faktor (x²+x)"

So hab ich doch gerechnet?

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Siehe meine Antwort unten ;-)

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Ah verzeih. Da muss ich mich verschaut haben.

Dachte Du hättets die Multiplikation vergessen und daher rühre Dein Fehler.

Deine pq-Formel selbst sieht gut aus, aber es fehlt die andere von mir angemerkte Sache: Die Fallunterscheidung.

Der von Dir vorgeführte Fall funktioniert nur für x^2+x > 0, für 0 < x < 1 dreht sich aber das Vorzeichen.

Untersuche das noch, sowie berücksichtige den Definitionsbereich und Du hast das Ergebnis der Musterlösung :).

(Der Def. bereich wird immer zuerst untersucht, da eventuell die Fallunterscheidung entfällt!)

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"Dachte Du hättets die Multiplikation vergessen und daher rühre Dein Fehler."

A: JA Auch! Mein DEF Bereich habe ich erst nur auf x^2 + x beschränkt, zwar richtig, aber damit habe ich noch lange nicht den gesamten Inhalt betrachtet. Vergessen hatte ich: 2-(x+3)/(x²+x)>=0 (GESAMT)

Wenn man das dann auf das ganze noch bezieht, dann kommt man hier auf eine wunderschöne PQ Formel.

Die Zweite PQ Formel in der eigentlichen Ungleichung liefert zwar keine Lösung (Das ist richtig), aber man hat ja seinen zuvor untersuchten DEF Bereich, den man dann verwenden kann.

Und Siehe da man kommt plötzlich auf die richtige Lösung.

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Sehr schön, wenn Du dem selbst auf die Schliche gekommen bist :).

Beachte, dass "keine" Lösung einer pq-Formel bei einer Ungleichung nicht gleich bedeutend mit "unwahr" ist. Du musst eine Punktprobe machen um festzustellen, ob die Ungleichung (komplett) erfüllt ist oder nicht :).

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Richtig bei -7x^2-8x-3<0 müsste noch eine Punktprobe gemacht werden. Das geht hier wunderbar auf!

Aber auch nochmal gut für den Hinweis!

// Hab euch beiden mal ein +1 gegeben!

// Leider gehen zwei "Beste" Antworten hier nicht

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Na iwas wollte ich dann doch auch noch beitragen, nachdem Du den Rest selbst gemacht hast :D.

Dein Dank und Dein Verständnis ist mir Lohn genug. Zudem hat Lu mehr Mühe reingesteckt. Die Ehre gebührt ihr. Zumal dann der Graph sauber zur Geltung kommt :D.

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Danke und gute Einstellung!

Schön, dass hier so gute Leute sind.

// Mein großer Lehrmeister für Ungleichungen ist GeorgBorn, mit seiner Zeichenmethode kommt man immer auf die Lösung, schade nur, dass Georg hier nicht mehr dabei ist...

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Danke für das Lob :).

Wir hoffen alle, dass er sich nur eine Auszeit nimmt :/. War etwas unglücklich. Aber er würde sich sicher freuen, dass Du etwas mitgenommen hast!