Matrixanbildung linear unabhängige Urbilder

Question

Kann mir bitte jemand helfen beim lösen folgender Aufgabe.

Gegeben sei:

A=    (2     0     0

          0      2     0

          0      0      0)

die zugehörige matrixabbildung sei L: ℝ^3 --> ℝ^3, x--> A(Vektor z)

Bestimmen Sie zwei linear unabhängige urbilder deren Bilder linear abhängig sind.

Ich habe gelernt dass man linear Abhängigkeit zeigt durch das gleichsetzen mit dem nullvektor.

Ich verstehe nicht wie man diese Aufgabe löst.

Danke:)

Answer 1

wenn du einen Vektor   v =  ( x ; y ; z )  - ich schreib mal statt Spalte eine Zeile - abbildest,

dann ist das Ergebnis  A * v = ( 2x ; 2y ; 0 ) .

Damit hhaben z.B. alle Bilder die 3. Komponente 0 und

um zwei lin. unabh. Urbilder zu finden, kannst du welche nehmen,

die sozusagen durch die 3. Komponente lin. unabh. werden, etwa

( 1;0;0) und ( 1;0;1)  [ wie vorgeschlagen wurde.]

Denn ohne die ditte Komp. wären

(1;0) und ( 1;0) ja sogar gleich, also lin. abh.

Die Bilder sind bei beiden

(2;0;0) also gleich und damit lin. abh.

Du hättest z.B. auch

( 1;1;0) und ( 2;2;1) nehmen können, die sind lin. unabh.

aber die Bilder nicht

( 2 ,2 ; 0) und ( 4 ; 4 ; 0 ) sind lin. abh.

Comments

Woran erkennen ich dass ( 1;0;0) und ( 1;0;1)linear unabhängige sind?

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wie immer:

Du machst den Ansatz

 x*( 1;0;0) +y* ( 1;0;1)= (0;0;0)

Das gibt drei Gleichungen

x+y=0   und  0*x+0*y = 0   und  0*x + y*1 = 0

also  
x+y=0   und   y = 0

und das hat EINZIGE Lösung x=y=0.

Deshalb sind sie lin. unabh.

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eine frage ist mir noch eingefallen, wie kommt man drauf wie die bilder aussehen? addiert man die urbilder??

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Die Bilder entstehen durch Matrix * Urbild.

Also das Bild von z.B. (1;2;3)

wäre bei deiner Matrix

2*1 +0*2 + 0*3

0*1+2*2+ 0*3

0*1 + 0*2 +0*3

=

2
4
0

Answer 2

Versuchs mal mit den Vektoren \( x_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( x_2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Comments

Wie kommt man denn drauf? Wie soll ich zeigen dass es die beiden sind??

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Das sind nicht die einzigen Vektoren. Es gibt beliebig viele, da durch die Matrix \( A \) immer eine \( z \) -Komponente mit Null beim Bild Vektor entsteht.