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Ich habe diese Funktion


$$f(x)=\frac { ax+b }{ ({ x }^{ 2 }+c) } $$

Und soll a und b bestimmen.

Ich habe bisher C ausgerechnet. C = -4

Nun habe ich folgendes Problem.

Es heißt, die Funktion hat an der Stelle X=1 einen relativen Extremwert.

Meine erste Ableitung lautet

$$f'(x)=\frac { -ax^{ 2 }-4a+2bx }{ ({ x }^{ 2 }+c)^{ 2 } } $$

Daraus folgt für den Extremwert an Stelle X=1

$$f'(1)=\frac { -ax^{ 2 }-4a+2bx }{ ({ x }^{ 2 }+c)^{ 2 } }=0 $$


Extrema einer gebrochen rationalen Funktion berechnet man ja in dem man den Zähler NULL setzt, den Nenner beachte ich nicht.

Also gehe ich wie folgt vor

$$-a1^{ 2 }-4a+2b1 =0$$

Dies führt aber zum falschen Ergebnis.

Laut Lösung muss ich

$$f'(1)=\frac { -a1^{ 2 }-4a+2b1 }{ ({ 1 }^{ 2 }-4)^{ 2 } }=0 $$

Also die Gesamte Funktion, nicht nur den Zähler, Nullsetzen und auflösen um auf mein a und b zu kommen.

Das weitere vorgehen ist für mich erstmal uninterssant.

Ist jemand so freundlich, und erklärt mir, weshalb ich nicht nur den Zähler Null setze sondern die gesamte Funktion?
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1 Antwort

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ob du den Zähler von f ' oder den ganzen Bruch = 0 setzt, ist gleichgültig.

Mit der Gleichung  - a - 4a + 2b = 0 ⇔  -5a  + 2b = 0  ⇔  b = 5/2·a

allein kannst du nicht zwei Unbekannte bestimmen.

Hier fehlt eindeutig eine zweite Bedingung (neben f '(1) = 0)

Gruß Wolfgang 

Avatar von 86 k 🚀

Dei weitere Information ist, das bei

X=1 der Funktionswert -0,25 beträgt

$$f(1)=\frac { ax+b }{ (x^{ 2 }+c) } =-0,25$$

Also

$$f(1)=\frac { a+2,5a }{ (1^{ 2 }-4) } =-0,25$$

Ich erhalte somit für a= 3/14

Was aber laut LÖsung falsch ist

Richtig soll sein a=-(1/2)

Deine 1. Ableitung ist falsch:

f(x) =  (ax+b) / (x2 - 4)    , wenn man dein c = -4 glauben darf :-)

f '(x)  = ( - a·x2 - 2·b·x - 4·a ) / (x2 - 4)2

es ergibt sich dann  a = - 1/2  und    b = 5/4

[ Dann stimmt das Zwischenergebnis  b = 5/2 a  aus der Antwort auch nicht mehr:  b = -5/2 a ]

Tatsächlich.

Oh man.

Danke

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