+1 Punkt
129 Aufrufe

Ich möchte die Lösung folgender Anfangswertaufgabe bestimmen:

y' = -(2/x)*y + x^2 + 1   mit y(1) = 23/15

Ich habe es mit Trennung der Variablen versucht, komme aber absolut nicht klar. Kann mir nochmal jemand helfen?

von

Probier vielleicht mal die Substitution \(z=x^2y\).

1 Antwort

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Trennung der Variablen funktioniert hier nicht.

Du mußt die Aufgabe mit "Variation der Konstanten" lösen.

y' = -(2/x)*y + x2 + 1

y' +(2/x)*y = x2 + 1

1.Lösung der hom. Gl.

y' +(2/x)*y = 0

dy/dx= -2/y*y

dy/y=-2/x

ln|y| =-2 ln|x| +C

yh= C/x^2

2.Setze C=C(x)

yp= C(x)/x^2

yp'= C '(x) *x^{-2} -2 x^{-3} *C(x)

3. in die Aufgabe einsetzen:

C '(x) *x^{-2} - 2 x^3 *C(x)= -2/x *C(x)/x^2 +x^2+1


C '(x) *x^{-2} = x^2+1

C'(x)= x^4 +x^2

C(x)= x^5/5 +x^3/3

4.Eiinsetzen in yp:

yp=C(x)/x^2 =x^3/5 +x/3

5.)Lösung:

y =yh +yp

y=C/x^2 +x^3/5 +x/3

6.)Einsetzen der AWB:

y(1) = 23/15

---------->

Endlösung:

y=1/x^2 +x^3/5 +x/3

von 79 k

Okay, danke für deine Mühe. Die Methode mit Variation der Konstanten werde ich wohl noch üben müssen. Danke!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...