Lösung einer Anfangswertaufgabe bestimmen

Question

Ich möchte die Lösung folgender Anfangswertaufgabe bestimmen:

y' = -(2/x)*y + x^2 + 1   mit y(1) = 23/15

Ich habe es mit Trennung der Variablen versucht, komme aber absolut nicht klar. Kann mir nochmal jemand helfen?

Comments

Probier vielleicht mal die Substitution \(z=x^2y\).

Answer 1

Trennung der Variablen funktioniert hier nicht.

Du mußt die Aufgabe mit "Variation der Konstanten" lösen.

y' = -(2/x)*y + x² + 1

y' +(2/x)*y = x² + 1

1.Lösung der hom. Gl.

y' +(2/x)*y = 0

dy/dx= -2/y*y

dy/y=-2/x

ln|y| =-2 ln|x| +C

y_h= C/x^2

2.Setze C=C(x)

y_p= C(x)/x^2

y_{p'= C '(x) *x^{-2} -2 x^{-3} *C(x)}

_{3. in die Aufgabe einsetzen:}

_{C '(x) *x^{-2} - 2 x^3 *C(x)= -2/x *C(x)/x^2 +x^2+1}

C '(x) *x^{-2} = x^2+1

C'(x)= x^4 +x^2

C(x)= x^5/5 +x^3/3

4.Eiinsetzen in y_p:

_{yp=C(x)/x^2 =x^3/5 +x/3}

_5.)Lösung:

_{y =yh +yp}

y=C/x^2 +x^3/5 +x/3

6.)Einsetzen der AWB:

y(1) = 23/15

---------->

Endlösung:

y=1/x^2 +x^3/5 +x/3

Comments

Okay, danke für deine Mühe. Die Methode mit Variation der Konstanten werde ich wohl noch üben müssen.