Rekonstruktion von Funktionen, zwei Funktionen schneiden sich im Ursprung senkrecht.

Question

Der Graph  einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet den Graphen von g(x)=1/2(4x³ + x) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x = 1 vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?

punktsymmetrie: f(x)=ax³+bx, f'(x)=3ax²+b und g(x)=2x³+0,5x ; g'(x)=6x²+0,5

Meine Bedingungen:

f(0)=g(0)

f'(0)=g(0)

und f(1)=g(1)

dann habe ich doch P1 (0/0) und P (1/2,5). Die andere 0 kann ich ignorieren.

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

Comments

Die Bedingung f'(x) = g'(x) passt nicht. Du sollst ja g senkrecht schneiden :). Sonst aber passts.

Bestimme also m_(g) =  g'(0) und dann wisse m_(f)*m_(g) = -1. Mit m_(f) = f'(0)

Damit kommst Du dann klar? :)

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Ich hatte es so:

a+b=2,5

f'(0)=g'(0)=-1

b=-2

a=4,5

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Wie gesagt, ws ist f'(0) ≠ g'(0). Die beiden Graphen sollen ja senkrecht aufeinander stehen. Schau nochmals meinen Beitrag drüber an :)

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Ah oder.war das nur ein Schreibfehler. Dann passts. Das Ergebnis paast auch :)

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Wo war ein Schreibfehler?

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f'(0)=g'(0)=-1

Das erste Gleichzeichen sollte ein Malpunkt sein?

Mit g'(0) = 0,5 erhalten wir dann f'(0) = -2  :)

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Nein, ich hatte das Gleicheheitszeichen absichtlich so. Und erst später mal gerechnet. Die Punkte kann ich nicht verwerten oder? Also die von der Ableitung.?

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Du hast den allgemeinen Ansatz

y = ax³ + bx

y' = 3ax² + b

Du brauchst also nur zwei Gleichungen.

Einmal f'(0) = -2 (wie man drauf kommt, siehe oben)

Sowie f(1) = 2,5

Den Rest hast Du durch die Punktsymmetrie berücksichtigt. :)

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aber das a+b=2.5

Woher kommt das a+b?

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Das hast Du doch selbst gesagt :D.

f(1) = 2,5

a+b = 2,5

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Durch  a*1^3+b*1
= a+b oder?

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Yup genau so ist es! :)

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Ok, danke. Ich habe morgen eine Prüfung und versuchd so möglichst, wie gut abzuschneiden.

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Viel Erfolg dabei! :)

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Danke dir & nochmal für deine Hilfe.

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Noch eine Frage:

Wenn ich so etwas habe (3a*0² + b) * (6*0² + 0.5) = -1

Das war ja noch einfach weil in der Klammer die 0 wegfällt. Wenn da statt eine 0 etwas anderes wäre, was mache ich dann? Wie gehe ich beim Auflösen vor?

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Kannst Du es mit einem Beispiel zeigen? Also statt die 0 in der Klammer, die 2 einsetzen und auflösen?

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Einfach 2 einsetzen und ausrechnen :).

(3a*2²+b)*(6*2²+0,5) = -1

(12a+b)*(24+0,5) = -1

Und so weiter (das hat mit unserer Aufgabe ja nix zu tun? Wäre eine Gleichung mit zwei Unbekannten, so wie sie dasteht :).

Ganz wichtig: für bspw 2*x² mit x = -2, musst Du Klammern setzen! -> 2*(-2)² = 2*4 = 8 :)

Answer 1

Hi

Es ist f'(0) = -2.

Mit der anderen Bedingung erhalten  wir dann

f (x) = 4,5 x³ - 2x ,

Wie Du schon korrekt gesagt hattest.

Grüße