Exponentialgleichung: 49^{x}-8×7^{x-1}=-7^{-1} Rechenweg?

Question

Benötige Rechenweg für folgende Gleichung:

49^{x}-8×7^{x-1}=-7^{-1}

Answer 1

49^x-8×7^x-1=-7^-1    

7^2x-8×7^x-1=-7^-1    |  Substituiere z = 7^x

z^2 - 8z/7 = -1/7

Nun erst mal nachvollziehen und kontrollieren. 

Dann diese quadratische Gleichung lösen.

Zum Schluss Rücksubstituieren nicht vergessen. Du brauchst ja x nicht nur z. 

  

Comments

-7^{-1}=1/7?

Muss da nicht noch ein Minus davor?

Und ich muss doch 7^{x}=z substituieren oder?

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Richtig. Danke. Ich habe das oben korrigiert.

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Ja, es lautet "- 1/7"

und ob du "z = 7^x" oder "7^x = z" schreibst ist egal.

Schau mal ob du auf x = -1 ∨ x = 0 kommst. Wenn nicht melde dich gerne nochmals wieder.

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Ich schiebs nicht mehr..

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Ich habs okay....... thx

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49^x - 8·7^{x - 1} = - 7^{-1}

7^{2·x} - 8/7·7^x = - 1/7

z = 7^x

z^2 - 8/7·z = - 1/7

z^2 - 8/7·z + 1/7 = 0

z = 1/7 --> x = LOG7(1/7) = -1

z = 1 --> x = LOG7(1) = 0

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Wo hast du genau die Probleme ? Die quadratische Gleichung zu lösen oder nachher den Logarithmus zu ziehen ?

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Meine Konz.anzeige ist auf null gesunken.....Ganzer Tag Mathe.....

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@Mathecoach: Besten Dank für die Beiträge oben. Ich denke, es ist oben alles gesagt. Wenn Rambazamba morgen wieder an diese Aufgabe geht, braucht er wohl die folgende Rechnung dann nicht mehr. 

z² - 8/7·z + 1/7 = 0  | faktorisieren drängt sich beinahe auf ( pq-Formel geht auch).

(z - 1)(z -1/7) = 0

z1 = 1 

z2 = 1/7 

Rücksubst. mit z = 7^x 

z1 = 1 = 7^0 = 7^{x1} =^{Exponentenvergleich}=> x1 = 0

z2 = 1/7 = 7^{-1} = 7^{x2} =^{Exponentenvergleich}=> x2 = -1 

Answer 2

Ohne Substitution:

\(49^{x}-8\cdot 7^{x-1}=-7^{-1}\)    

\(7^{2x}-\frac{8}{7}\cdot 7^{x}=-\frac{1}{7}\)             quadratische Ergänzung:

\(7^{2x}-\frac{8}{7}\cdot 7^{x}+(\frac{4}{7})^{2}=-\frac{1}{7}+(\frac{4}{7})^{2}\)             2.Binom:

\((7^{x}-\frac{4}{7})^{2}=\frac{9}{49}   |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(7^{x}-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}  \) 

\(7^{x}=\frac{7}{7}=1  \)

\(x_1=0\)

2.)

\(7^{x}-\frac{4}{7}=-\frac{3}{7}  \)

\(7^{x}=\frac{1}{7}=7^{-1}  \)

\(x_2=-1\)