Komplexes Kurvenintegral von -i bis i.

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Kann mir jemand folgendes Beispiel lösen:

Sei p(z) ein ungerades Polynom, d.h es treten nur ungerade Potenzen von z auf. Berechnen sie \textstyle \ointC p(z) dz

Wobei C eine Kurve ist die die beiden Punkte i und -i miteinander verbindet.

Danke schon mal!

Gefragt 11 Okt 2016 von Ti-30X Pro

EDIT: Bei mir wird die Frage so angezeigt:

Bild Mathematik

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Hmm bei mir war es noch ein Kurvenintegral in der Vorschau. Wie auch immer es soll ein Kurvenintegral über die Kurve C sein!

D.h. du müsstest anhand der Symmetrie von p schon sagen können, was rauskommt? - unabhängig von p?

Könntest du da nicht einfach p(z) = 0 oder , damit es nicht ganz so trivial wird p(z) = z und dazu einen direkten Weg von zwischen diesen beiden Punkten wählen?

Danach kannst du das Resultat vielleicht einfach verallgemeinern. 

Hmm ich hab mehr an den Fundamentalsatz der Algebra gedacht der auch mit einem Komplexen integral bewiesen werden kann aber da komm ich dann nicht weiter.

p(z)=0 wäre doch kein ungerades Polynom oder?  Bzw muss das doch für alle polynome gelten die ungerade sind.

p(z)=1 wäre doch kein ungerades Polynom oder? Richtig. Ich habe nun p(z) = z ergänzt.

 Bzw muss das doch für alle polynome gelten die ungerade sind.

Wie gesagt, würde ich einfach mal rechnen und dann eine Verallgemeinerung versuchen. 

Wenn du natürlich schon einen Satz kennst, der dir sagt, was rauskommen muss, kommst du vielleicht direkter zum Ziel. 

Erwartest du denn ein Resultat, das noch von p abhängig ist? 

2 Antworten

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Beste Antwort

Wieso schreibst Du hier \(\oint\), wenn doch gar nicht ueber einen geschlossenen Weg integriert wird? Ausserdem haengt das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt ab, wenn man eine Stammfunktion angeben kann. $$\int_{-i}^i\left(a_1z+a_3z^3+\cdots+a_{2n+1}z^{2n+1}\right)\,dz=\left[\frac{a_1}{2}z^2+\frac{a_3}{4}z^4+\cdots+\frac{a_{2n+1}}{2n+2}z^{2n+2}\right]_{-i}^i$$

Beantwortet 11 Okt 2016 von Fakename Experte III

Danke an beide... Ist eigentlich nicht schwer wenn man mal den Ansatz hat und auch ziemlich einleuchtend!

+2 Daumen

Hallo,

berechne das Integral mit der komplexen Stammfunktion:

∫ p(z)dz=∫∑ cn*z^(2n+1) dz=∑cn∫z^(2n+1)dz=[∑cn/(2n+2)*z^(2n+2)]-ii

=∑cn/(2n+1)*[(i)^(2n+2)-(-i)^(2n+2)]=0, da (-1)^(2n+2)=1

Beantwortet 11 Okt 2016 von Gast jc2144 Experte XIV

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