Bestimmen sie alle natürliche Zahlen, für die die Ungleichung gilt: 2^n<n!

Question

2ⁿ<n!

Ich habe erst geschaut was die kleinste nat. Zahl ist für die die Ungleichung gilt. 

Dann wollte ich mit vollständiger Induktion weitermachen, um zu zeigen,dass es eventuell für alle gilt.

(IS) 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2        --> (IV) eingesetzt

<n!*2 

Am Ende muss ich ja zeigen, dass n!*2 igendwie kleiner ist als (n+1)!....

Answer 1

dass n!*2 igendwie kleiner ist als (n+1)!

....es ist für n>2 jedenfalls 

  2 < (n+1)    | * n!

2* n! < (n+1) * n!  = (n+1) !

Fertig!

Comments

EDIT: Kannst du noch Zeilenumbrüche einfügen? 

Answer 2

Zu zeigen ist: Wenn 2ⁿ<n!, dann gilt auch 2ⁿ⁺¹<(n+1)! oder 2·2ⁿ<n!·(n+1). Der Faktor (n+1) ist für n = 1 ebenso groß, wie der Faktor 2 und für n>1 sogar größer. Wenn die größere Seite einer Ungleichung mit einer größeren Zahl multipliziert wird, als die kleinere Seite, gilt das Ungleichheitszeichen erst recht.

Answer 3

Am Ende muss ich ja zeigen, dass n!*2 igendwie kleiner ist als (n+1)!....

das kannst du auch mit Induktion zeigen:

Annahme:

n!*2<(n+1)! für n>2

Induktionsschritt:

(n+1)!*2=(n+1)*n!*2<(n+1)*(n+1)!<(n+2)*(n+1)!=(n+2)!