Komplexe Zahlen z = (1-i)1+i wann gilt |z| <1?

Question

Die Aufgabe besteht darin den Real und Imaginärteil von z zubestimmen und zubestimmen wann |z| < 1 gilt

$$z\quad =\quad (1-i{ ) }^{ 1+i }\quad =\quad { e }^{ (1+i)(ln(1-i)) }$$

$$ln(1-i)\quad =\quad ln(\sqrt { 2 } { e }^{ \frac { -\pi }{ 4 } })$$

$$ln(\sqrt { 2 } { e }^{ \frac { -\pi }{ 4 } })\quad =\quad ln(\sqrt { 2 } )\quad +\quad i(\frac { -\pi }{ 4 } \quad +\quad 2k\pi )$$

$$(1+i)[ln(\sqrt { 2 } )\quad +\quad i(\frac { -\pi }{ 4 } \quad +\quad 2k\pi )]\quad =\quad ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi }{ 4 } -2k\pi \quad +\quad i(-\frac { \pi }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } )$$

$$z = { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi }{ 4 } -2k\pi \quad +\quad i(-\frac { \pi }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }$$

$${ e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi }{ 4 } -2k\pi \quad +\quad i(-\frac { \pi }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }=\quad { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi }{ 4 } -2k\pi \quad }{ e }^{ i(-\frac { \pi }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }$$

$${ e }^{ ln\sqrt { 2 } }\quad { e }^{ -i\frac { \pi }{ 4 } }\quad =\sqrt { 2 } \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } (1-i)\quad =\quad (1-i)$$ 

$$\quad { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi }{ 4 } -2k\pi \quad }{ e }^{ i(-\frac { \pi }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }=\quad (1-i){ e }^{ \frac { \pi }{ 4 } -2k\pi +i(2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }$$

Wird der Real/Img.teil bei k = 0 angegeben? dann sollte doch davon das Ergebnis

$$Realteil = \sqrt { 2 } -\quad \frac { \pi }{ 4 }$$

$$Imaginärteil = \sqrt { 2 } -\quad \frac { \pi }{ 4 }$$

"wann gilt |z| < 1" Muss ich dann berechnen bei welchen Zweig(k) der Realteil < 1 ist?

MFG

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