Beweise/Widerlege (A × C) ∪ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D)

Question

Abend Leute,
geht darum, wie genau ich (A × C) ∪ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D) beweisen/widerlegen soll. Ich nenne die Gleichung mal G, sei also x∈G, dann: Fall1:x∈(A × C), mit x = (a, c), wobei a∈A, c∈C
oder 

Fall2:x∈(B × D), mit x = (b, d), wobei b∈B, d∈D.Das war jetzt mein Ansatz bisher, komme aber nicht wirklich voran. Jemand 'nen Vorschlag, wie ich das beweisen/widerlegen kann?

Answer 1

Gegenbeispiel: 

Sei  A = { 1, 2 }  ;  B = {2 , 3}  ;  C = { 4, 5 }  und  D = { 5 , 6 }

AxC = { (1|4) , (1|5) , (2|4) , (2|5) }

BxD = { (2|5) , (2|6) , (3|5) , (3|6) }

(AxC) ∪ (BxD)   =  { (1|4) , (1|5) , (2|4) , (2|5) , (2|6) , (3|5) , (3|6) }

A ∩ B = { 2 }

C ∩ D = { 5 }

(A ∩ B) x (C ∩ D)  =  { (2|5) }

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Richtig wäre:    (AxC)  ∩  (BxD)  =  (A ∩ B) x (C ∩ D)  :  

(AxC)  ∩  (BxD)   =  { (x|y) | (x∈A  ∧ y∈C) ∧ (x∈B ∧ y∈D) }

 (A ∩ B) x (C ∩ D)   =  { (x|y) | (x∈A  x∈B ) ∧ (y∈C ∧ y∈D) }

Nach dem allgemeinen Assoziativgesetz für ∧ kann man die Klammern weglassen.

Beide Mengen  sind also gleich.

Gruß Wolfgang