Es seien a,b,c,d Elemente eines beliebigen Körpers. Beweisen sie:

Question

a) -(-a) = a

b) (-a)*(-b) = ab

c) Ist b≠0 und d≠= so gilt :

(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd)                           (a/b definiert als a*b^-1)

d) a² = b² ⇔ (a=b oder a= -b)

e)(Durch 0 teilen)  In einem Körper gibt es kein Elemen 0^-1

Answer 1

a) Die Inverse ist eindeutig:

$$-a+(-(-a))=0_K=-a+a$$

(-(-a)) ist ja die additive Inverse von (-a), gleichzeitig ist (-a) die Inverse von a. Also sind beide Terme gleich dem Nullelement.

$$-a+(-(-a))=-a+a \Leftrightarrow (-(-a))=a$$

nach der Kürzungsregel, (K, +) ist ja schließlich eine Gruppe.

b) Minus mal minus ergibt plus:

$$(-a)\cdot (-b)+a\cdot(-b)=(-a+a)\cdot b=0\cdot b=0$$

Hier wird $0\cdot b=0$ verwendet, was aus $0=0\cdot b-(0\cdot b)=(0+0)\cdot b-(0\cdot b)=0\cdot b$ folgt.

Also: $(-a)\cdot(-b)=-(a\cdot(-b)).$

$$-(a\cdot(-b))-(a\cdot b)=-(a\cdot(-b)+a\cdot b)=-(a\cdot(-b+b))=-(a\cdot 0)=-0=-0+0=0.$$

Zum Beweis der ersten Gleichheit kann man einfach beide Seiten mit $a\cdot(-b)+a\cdot b$ erweitern.

c) Natürliche Addition von Brüchen:

$$\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.$$

$$\frac ab + \frac cd = ab^{-1}+cd^{-1}=ab^{-1}dd^{-1}+cd^{-1}bb^{-1}=(ad+bc)\cdot b^{-1}d^{-1}=\frac{ad+bc}{bd}.$$

d) Doppellösung von quadratischen Gleichungen:

$"\Leftarrow"\colon$ Sei $a=b$, dann folgt sofort: $a^2=a\cdot a=b\cdot b=b^2$.

Sei $a=-b$, dann folgt mithilfe von b): $a^2=a\cdot a=(-b)\cdot (-b)=b\cdot b= b^2$.

$"\Rightarrow"\colon$ Sei $a^2=b^2$, dann ist $a^2-b^2=0$. Mittels binomischer Formel ergibt sich:

$$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)=0. \Leftrightarrow (a-b)=(a+b)^{-1}\cdot 0=0 \vee (a+b)=(a-b)^{-1}\cdot 0=0 \Leftrightarrow a-b=0 \vee a+b=0 \Leftrightarrow a=b \vee a=-b.$$

e) Null hat kein multiplikatives Inverses:

$$0\cdot 0 = 0 = 1 \cdot 0.$$

Gäbe es ein multiplikatives Inverses, könnten wir hier $0^{-1}$ anwenden:

$$0\cdot 0\cdot 0^{-1}=1\cdot0\cdot0^{-1} \Leftrightarrow 0=1.$$

Widerspruch, da 1 das neutrale Element von $K\setminus\{0\}$ sein muss, also insbesondere $1\in K\setminus \{0\}$, also $1\neq0$!