Ist n^2 * x (unten n) ein U-VR des R-VR R^n?

Question

ich hänge derzeit an folgender Aufgabe:

Sei n ∈ N mit n ≥ 2. Ist {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Rⁿ | x₁ +x₂ +. . .+x_n−1 = n² · x_n} ein Untervektorraum des R-Vektorraums Rⁿ ? 

Nun weiß ich, dass ich folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

1.) U ≠ leere Menge

2.) v,w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

3.) v ∈ U, λ ∈ K ⇒ λ*v ∈ U

Soweit so gut. Nun hatten wir auch seitens des Profs nichts weiter dazu geschrieben.

Im Internet stieß ich dann auf folgendes: Für Lineare Abbildungen müssen

1. Homogenität

f(a ⊗ v) = a ⊗ f(v)

2.  Additivität

f(v ⊕ w) = f(v) ⊕ f(w)

gelten. Jetzt kann ich damit nicht wirklich etwas anfangen. Aus der 3. Teilaufgabe erschließe ich aber, dass ich das wohl brauchen werde, da:

Ist {f ∈ M(R, R) | f(x) = 0 fur jedes x ∈ R mit x ≥ 6} ein Untervektorraum des R-Vektorraums M(R, R)?

Brauche ich das wirklich? "Simpemaths" (Youtube) beweist U-VR auch mit den linearen Abbildungen, konnte dem aber nicht folgen.

Wie muss ich an diese Aufgaben ran gehen?

Danke.

Answer 1

> 1.) U ≠ leere Menge

Ist denn {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Rⁿ | x₁ +x₂ +. . .+x_n−1 = n² · x_n} ≠ leere Menge? Oder findest du etwas einen Vektor, der Element von {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Rⁿ | x₁ +x₂ +. . .+x_n−1 = n² · x_n} ist?

> 2.) v,w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

Es seien (v₁, v₂, . . . , v_n) ∈ Rⁿ und (u₁, u₂, . . . , u_n) ∈ Rⁿ, so dass v₁ +v₂ +. . .+v_n−1 = n² · v_n und u₁ +u₂ +. . .+u_n−1 = n² · u_n sind.

Prüfe ob dann auch (v₁+u₁) +(v₂ +u₂)+. . .+(v_n+u_n)−1 = n² · (v_n+u_n) ist.

> 3.) v ∈ U, λ ∈ K ⇒ λ*v ∈ U

Analog zu  2.)

Comments

Es soll vermutlich x_n-1 statt x_n-1 heißen.

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Aber was hat es mit den Bedingungen der linearen Abbildung auf sich? Und wie gehe ich die letzte Aufgabe mit den Funktionen an?
Zu dem 1. Punkt  weiß ich jetzt nur, dass ein Null-Vektor aus V auch ein Nullvektor aus U ist, bzw. U auch einen hat.

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> Aber was hat es mit den Bedingungen der linearen Abbildung auf sich?

Die stellen zum Beispiel sicher, dass das Bild eines Untervektorraums unter einer linearen Abbildung ein Untervektorraum ist. Um zu prüfen, dass es sich bei einer Teilmenge um einen Untervektorraum handelt, eignen sie sich aber nicht direkt.

> Und wie gehe ich die letzte Aufgabe mit den Funktionen an?

> 1.) U ≠ leere Menge

Ist denn {f ∈ M(R, R) | f(x) = 0 fur jedes x ∈ R mit x ≥ 6} ≠ leere Menge? Oder findest du etwas eine Funktion, die Element von {f ∈ M(R, R) | f(x) = 0 fur jedes x ∈ R mit x ≥ 6} ist?

> 2.) v,w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

Es seien u, v ∈ M(R,R) so dass u(x) = v(x) = 0 fur jedes x ∈ R mit x ≥ 6 ist.

Prüfe ob dann auch (u·v)(x) = 0 für jedes  x ∈ R mit x ≥ 6 ist.

> 3.) v ∈ U, λ ∈ K ⇒ λ*v ∈ U

Analog zu  2.)