Entscheiden Sie, ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt? Bsp. b) a~b⇔|a-b|<1,

Question

Betrachten Sie folgende Mengen M und die jeweils angegebene Relation ~ auf M und entscheiden Sie, ob es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt. Geben Sie falls möglich die Äquivalenzklasse an.       

a) M=R, a~b⇔|a|=|b|,      

b) a~b⇔|a-b|<1,    

Answer 1

a)

M=ℝ  , a ~ b  ⇔   |a| = |b|      

Reflexivitat:   a ~ a  ⇔  |a| = |a|     ist wahr für alle a∈ ℝ 

Symmetrie:  a ~ b  →  b ~ a   ⇔  |a| = |b| → |b| = |a|  ist wahr für alle a,b ∈ ℝ 

Transitivität:

a ~ b und b ~ c →  b ~ c  

|a| = |b|  und |b| = |c|   →  |b| = |c|     ist wahr für alle a,b,c  ∈ ℝ 

Es handelt sich also um eine Äquivalenzrelation

b) 

a ~ b ⇔  |a-b| < 1

Gegenbeispiel:

| 3 - 2,5 | < 1 und | 2,5 - 2 | < 1  ; aber | 3 - 2 | = 1    

Die Realtion R ist also nicht transitiv und demnach keine Aquivalenzrelation

Gruß Wolfgang