Gruppen und Untergruppen.

Question

Es seien (G,●) und (H, ⚹) Gruppen und e_G bzw. e_H das jeweilige neutrale Element. Weiter sei Φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von Φ ist die Menge

Kern  Φ := {g ∈ G | Φ (g) = e_H}.

a) Zeigen Sie:

1. Kern Φ ist eine Untergruppe von G.

2. Φ ist genau dann injektiv, wenn Kern Φ = {e_G} gilt.

b) Zeigen Sie, dass die Menge G x H mit der Verknüpfung

(g₁, h₁) ◇ (g₂, h₂) := (g₁ ● g₂, h₁ ⚹ h₂)

eine Gruppe ist. Sie wird direktes Produkt von G und H genannt. Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung

Φ: (G x H), ◇) → (G, ●), (g, h) ↦ g,

ein Homomorphismus ist. Bestimmen Sie außerdem den Kern von Φ.