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Ich verzweifle ein wenig an der Aufgabe 4 der des Brückenkurses Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (FernUni-Hagen). Mein Schulmathe ist ca. 10 Jahre her.

Hier die Aufgabe:

A={(x,y) Element R x R: x² + y² < gleich 16}

B={(x,y) Element R+ x R+: y > wurzel x}

C={(x,y) Element R x R: y > -1/2x+3}

D={(x,y) Element R x R: y > gleich x²}

Aufgabe:

a) Skizzieren Sie die Menge A∩ B∩ C∩ D
b) Bestimmen Sie die Elemente (A∩ B∩ C∩ D) ( No x No)

Zwischen den A B C D ist das Schnittmengen-Symbol gemeint ;)
b) Bestimmen Sie die Elemente (A∩ B∩ C∩ D) ( No x No). Meint Elemente von (A∩ B∩ C∩ D) mit natürlichen Koordinaten.

Also, wie fange ich hier an? Ich muss doch im Prinzip bei jeder Menge rausfinden, was x und y ist und das in ein Koordinatensystem einzeichnen oder?
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Vom Duplikat:

Titel: Mengen skizzieren und Elemente bestimmen

Stichworte: mengenlehre,koordinatensystem

liebe Community,

ich sitze nun seit einiger Zeit an einer Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme.

Die Frage wurde zwar bereits 2013 beantwortet, jedoch kann ich den Lösungsweg leider nicht nachvollziehen. Die angesprochene Frage ist die folgende: https://www.mathelounge.de/39715/skizziere-abcd-bestimme-elemente-naturlichen-koordinaten


Zur Übersicht nochmal die gestellte Aufgabe:

Gegeben seien die Mengen:

A={(x,y) Element R x R: x² + y² < gleich 16}

B={(x,y) Element R+ x R+: y > wurzel x}

C={(x,y) Element R x R: y > -1/2x+3}

D={(x,y) Element R x R: y > gleich x²}

Die genaue Aufgabenstellung zu a) lautet:

Skizzieren Sie alle Mengen in einem Koordinatensystem, und Kennzeichen Sie darin die Mengen A geschnitten mit B geschnitten mit C geschnitten mit D.

Im Skript wurden bisher nur Aussagen, Mengen und Zahlenbereiche behandelt, nicht jedoch diese Thematik.

Dass bei {(x,y) Element R x R: x² + y² < gleich 16} wohl die Wurzel gezogen wird und somit x+y<gleich 4 ergibt, habe ich wohl verstanden. Dann hört es allerdings auch leider schon auf.

Kann hier eventuell jemand Licht ins Dunkle bringen? Mir würde es auch schon helfen, zu wissen, welchen Themenbereich ich mir anschauen müsste, um die Gleichungen annähernd zu verstehen.

Gruß & angenehmen Abend wünsche ich

Hallo Luxu,

die Antwort hinter dem von Dir angegebenen Link ist ausführlich und gut und mit Skizze. Wenn ich das also abschreibe, nützt es Dir nichts. Es wäre hilfreich zu erfahren, wo genau Du ein Verständnisproblem hast.

Du schreibst: "Dass bei {(x,y) Element R x R: x² + y² < gleich 16} wohl die Wurzel gezogen wird und somit x+y<gleich 4 ergibt, habe ich wohl verstanden." Ist aber falsch!

$$\sqrt{x^2 + y^2} \ne x + y$$ da $$(x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 \ne x^2 + y^2$$ Gruß Werner

1 Antwort

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Beste Antwort

x ² + y ² <= 16 wird erfüllt durch alle Punkte ( x | y ) , die auf dem Rand und innerhalb eines Kreises mit dem Radius 4 um den Ursprung liegen. Diese Punkte bilden die Menge A.

y > √ x wird erfüllt durch alle Punkte ( x | y ) des ersten Quadranten, die oberhalb des Graphen mit der Funktionsgleichung f ( x ) = √ x liegen. Diese Punkte bilden die Menge B. Die Punkte auf dem Graphen von f gehören nicht zur Menge B. Die Punkte auf der positiven y-Achse gehören zur Menge B, wenn R+ auch die 0 enthält, was ich hier annehme.

y > - 1/2 x + 3 wird erfüllt durch alle Punkte, die oberhalb der Geraden mit der Funktionsgleichung g ( x ) = - 1/2 x + 3 liegen. Diese Punkte bilden die Menge C. Die Punkte auf der Geraden gehören nicht zu C.

y >= x ² wird erfüllt durch alle Punkte ( x | y ), die auf und oberhalb der Parabel mit der Funktionsgleichung p ( x ) = x ² liegen, die also von den Parabelästen umschlossen werden. Diese Punkte bilden die Menge D. 

 

Die Schnittmenge S = A ∩ B ∩ C ∩ D besteht nun aus all denjenigen Punkten der Mengen A, B, C, D, die alle der genannten Bedingungen erfüllen.

Hier eine (schlechte) Skizze, die Menge S ist rot markiert:

Schnittmengen ABCD

 

(Hinweis: Ich habe die Zeichnung mit WolframAlpha erstellt und musste dabei das Koordinatensystem durch die Graphen zu x = 0 und y = 0 selbst erzeugen, da WA das einfach nicht tun wollte :-) )

b) Sei M die Menge aller Punkte ( x | y ) ∈ S für die gilt, das x und y natürliche Zahlen einschließlich der 0 sind, dann enthält M, wie man aus der Skizze entnehmen kann, nur die Punkte ( 0 | 4 ) und ( 1 | 3 ). Der Punkt ( 0 | 3 ) etwa gehört nicht zu M, da er nicht zur Menge C und damit nicht zur Schnittmenge der Mengen A, B, C und D gehört.

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Vielen, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung! Das hat mir sehr weitergeholfen :)

Auch vielen Dank für die Skizze!
Vielen Dank für die freundlichen Worte und das Sternchen - wobei ich es eigentlich nicht so gerne mag, wenn ein Fragesteller unmittelbar nach dem Posten einer Antwort diese bereits als die Beste auswählt. Besser wäre es, er würde damit ein paar Stunden (oder sogar einen Tag) warten, denn vielleicht kommt ja eine noch bessere Antwort ...

Es freut mich aber, dass ich helfen konnte :-)
Ich hatte mir gedacht, dass nach solch einer ausführlichen Antwort samt Skizze wahrscheinlich kein weiterer mehr antworten würde :)
Damit allerdings könntest du in der Tat recht haben :-)

Meine "Kritik" sollte auch nicht speziell dich treffen, sondern war eher allgemein gemeint. In der Regel wird hier leider viel zu voreilig "ausgezeichnet".
Guten Tag JotEs,danke für die Lösung zu o.g. Aufgabe. Sie hat mir in Teilen schon geholfen überhaupt etwas zu verstehen!
Leider ist es noch arg dunkel, wenn es um die Schnittmengen geht die in Lösung a ) und b) zwar erklärt aber von mir nicht verstanden werden. Ich hoffe auf weitere Erleuchtung durch Sie als Lichtbringer!
Fragen zu Lösung a)y > √ x wird erfüllt durch alle Punkte ( x | y ) des ersten Quadranten, die oberhalb des Graphen mit der Funktionsgleichung f ( x ) = √ x liegen. ?Was bedeutet oberhalb des Graphen?        und warum gehören
?Die Punkte auf dem Graphen von f gehören nicht zur Menge B? Was bedeutet Punkte auf dem Graphen von f?
y > - 1/2 x + 3 wird erfüllt durch alle Punkte, die oberhalb der Geraden mit der Funktionsgleichung g ( x ) = - 1/2 x + 3 liegen. Diese Punkte bilden die Menge C. Die Punkte auf der Geraden gehören nicht zu C.
?Warum nur die Punkte oberhalb der Geraden? ?Warum die Punkte auf der Geraden nicht zu C?


y >= x ² wird erfüllt durch alle Punkte ( x | y ), die auf und oberhalb der Parabel mit der Funktionsgleichung p ( x ) = x ² liegen, die also von den Parabelästen umschlossen werden. Diese Punkte bilden die Menge D. 
?Was bedeutet oberhalb der Parabel und von den Parabelästen umschlossen werden?Ich würde mich freuen, wenn Sie die Zeit finden mir zu antworten  erst einmal nur zu a.)

Herzlichen Dank
J.Berns

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